共分散の証明

V (X) = V (Y ) とするとき、Cov(X + Y , X − Y ) = 0 を証明のやり方を教えてほしいです

質問者からの補足コメント

• もう少し詳しく教えていただくことは可能ですか？

  No.1の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2022/07/24 02:00

• V (X) = V (Y ) をどう使えばいいかがわからないです。

  No.2の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2022/07/24 07:28

No.1 回答者： stomachman 回答日時： 2022/07/24 01:40

定義に戻って書いてみれば自明でしょう。

No.2 回答者： Tacosan 回答日時： 2022/07/24 03:30

「詳しく」とは? どこまでできていて, どこでなにに困っている?

No.3 回答者： Tacosan 回答日時： 2022/07/24 07:41

V(X) や V(Y) がどのように計算できるかがわかっていて実際に運算していけば「どう使えばいいか」は「見ればわかる」レベルのような気もするんだけど...

実際に計算したのを見せてみて.

No.4 ベストアンサー 回答者： yhr2 回答日時： 2022/07/24 11:29

分散とは、平均値からのバラツキであり、平均値との偏差の平均をとっても「ゼロ」になるだけなので、偏差が必ず「正の値」になるように2乗してから平均をとります。

つまり、X = {x1, x2, ･･･, xn}, Y = {y1, y2, ･･･, yn}、X, Y の平均をそれぞれ μx, μy として

　V[X] ＝ (1/n)Σ(xi - μx)^2　　　　①
　V[Y] ＝ (1/n)Σ(yi - μy)^2　　　　②

です。
共分散は、同じ i の xi, yi がペアであるときに
　Cov(X, Y) = (1/n)Σ[(xi - μx)(yi - μy)]　　　　③
で定義されます。

変数を X+Y, X-Y にしたときには、変数の要素は
　X + Y = {x1 + y1, x2 + y2, ･･･, xn + yn}
　X - Y = {x1 - y1, x2 - y2, ･･･, xn - yn}
平均値は
　E[X + Y] = E[X] + E[Y] = μx + μy
　E[X - Y] = E[X] - E[Y] = μx - μy
となることはよいですね？

従って、定義③の式どおりにやれば
　Cov(X + Y, X - Y) = (1/n)Σ{ [(xi + yi) - (μx + μy)][(xi - yi) - (μx - μy)] }
= (1/n)Σ{ [(xi - μx) + (yi - μy)][(xi - μx) - (yi - μy)] }
= (1/n)Σ{ (xi - μx)^2 - (yi - μy)^2 }　　←（A + B)(A - B) = A^2 + B^2 を使った
= (1/n)Σ(xi - μx)^2 - (1/n)Σ(yi - μy)^2　　←総和を２つに分解
= V[X] - V[Y]　　　←①②の定義そのもの

ここまでが分かれば、V[X] = V[Y] のときには = 0 になることが分かるでしょう。

きちんと定義どおりにやってみればよいだけです。
天才的なひらめきやトリックのような数式マジックは必要としません。

この回答へのお礼

とてもわかりやすく教えていただきありがとうございます。
本当に助かりました。

お礼日時：2022/07/24 11:49