t=tan(x/2)の置換積分について質問です。写真の問題では、(1)でt=tan(x/2)として、

Question

t=tan(x/2)の置換積分について質問です。写真の問題では、(1)でt=tan(x/2)として、sinxをtで表して、これを利用して(2)の不定積分を求めています。まずt=tan(x/2)と置いた時、tan(2n+1)π/2(nは整数)は未定義であるから、x≠(2n+1)πが言えます。しかし、(2)の不定積分を見てみるとx=(2n+1)πであっても、sinxは未定義ではありません。つまり、私の疑問点はもともとの(2)の不定積分で定義できていたxが、t=tan(x/2)の置換によって失われてしまっているのではないかということです。それなのに、解答には場合分けもせず淡々と置換積分が行われているのが不思議です。だれか教えてくださいお願いしますm(__)m

写真です。

補足日時：2022/11/22 22:01
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mtrajcp · Accepted Answer

はい、その参考書は間違いです
図のように変形しなければいけません

syotao · Answer

求める不定積分をF(ｘ)とします。
結論を言うとx≠(2n+1)πのときF(ｘ)は参考書の最終解答であっています。
しかし主さんが指摘するようにx＝(2n+1)πで被積分関数は
連続だからF(ｘ)はx＝(2n+1)πで連続でなければいけない。
そこで参考書の最終解答の分母分子をtan(ｘ/2)でわってｘ→(2n+1)π
とすればF(ｘ)はlog2　に収束します、つまりF((2n+1)π)＝2
でなければならない。
ところがx≠(2n+1)π　のときNo.5さんがやっているように
F(ｘ)はNo.5さんの赤書きの式に等しくなりしかもこの式は
ｘ＝(2n+1)πで連続、しかも(2n+1)πでlog2の値をとります。
したがってF(ｘ)はｘ＝(2n+1)πも含めてNo.5さんの赤書きの式に
等しくなる　ということなのです。

つまり参考書はあやまりというより説明不足と考えます。

mtrajcp · Answer

積分結果をF(x)とすると
F(x)=(1/3){log|2sin(x/2)+cos(x/2)|-log|sin(x/2)+2cos(x/2)|}+C

x=(2n+1)πのとき

F((2n+1)π)
=(1/3){log|2sin((2n+1)π/2)+cos((2n+1)π/2)|-log|sin((2n+1)π/2)+2cos((2n+1)π/2)|}+C
=(1/3)log2+C

で
x=(2n+1)π　でF(x)は連続で微分可能だから
(元の関数にもどること)までは必要ないかもしれません

ただし
F(x)=(1/3)log|{2tan(x/2)+1}/{tan(x/2)+2})+Cの場合は
x=(2n+1)πで不連続になるからこれは間違いです
F(x)=(1/3)log|{2tan(x/2)+1}/{tan(x/2)+2})+Cではなく

F(x)=(1/3){log|2sin(x/2)+cos(x/2)|-log|sin(x/2)+2cos(x/2)|}+C
としなければなりません

mtrajcp · Answer

ご指摘の通り
t=tan(x/2)と置換した場合
x≠(2n+1)π
という条件が追加されるので
積分結果を微分することによって
元の関数にもどることを確認しなければなりません
t=tan(x/2)と置換して

∫{1/(4+5sinx)}dx
=(1/3)∫{2/(2t+1)-1/(t+2)}dt
=(1/3)(log|2t+1|-log|t+2|)+C
=(1/3)log|(2t+1)/(t+2)|+C
=(1/3)log|{2tan(x/2)+1}/{tan(x/2)+2})+C
=(1/3)log|{2sin(x/2)/cos(x/2)+1}/{sin(x/2)/cos(x/2)+2})+C
=(1/3)log|{2sin(x/2)+cos(x/2)}/{sin(x/2)+2cos(x/2)})+C
=(1/3){log|2sin(x/2)+cos(x/2)|-log|sin(x/2)+2cos(x/2)|}+C

積分結果をF(x)とすると
F(x)=(1/3){log|2sin(x/2)+cos(x/2)|-log|sin(x/2)+2cos(x/2)|}+C
↓微分すると

F'(x)
=
(1/3)({cos(x/2)-(1/2)sin(x/2)}/{2sin(x/2)+cos(x/2)}-{(1/2)cos(x/2)-sin(x/2)}/{sin(x/2)+2cos(x/2)})
=
(1/3)
({cos(x/2)-(1/2)sin(x/2)}{sin(x/2)+2cos(x/2)}-{(1/2)cos(x/2)-sin(x/2)}{2sin(x/2)+cos(x/2)})
/({2sin(x/2)+cos(x/2)}{sin(x/2)+2cos(x/2)})
=
1/(4+5sinx)

となって元の被積分関数1/(4+5sinx)に戻ったので
x=(2n+1)πのときもF(x)は原始関数となる
ただし(sinx≠-4/5)

ありものがたり · Answer

t=tan(x/2) で置換積分した場合、
各 (2n-1)π < x < (2n+1)π ごとに別の計算をしていることになるので、
まずは、得られた不定積分が x = (2n+1)π で微分可能かどうか
から調べていかなくてはなりませんね。
n が違う (2n-1)π < x < (2n+1)π ごとに異なる積分定数を置いて、
x → (2n+1)π で連続になるように隣り合う区間の積分定数を調整すると
x = (2n+1)π でも微分可能な原始関数が得られる 例は多いものです。