正規分布に関する問題

期末試験で問題回収されたので記憶に残っている範囲での記載になりますが、以下の2問が分からず解法をご教授頂きたいです。

①当たりが出る確率が0.2である試行を100回行った時28回以上当たりが出る確率を求めよ


②一個辺りの重さがN(7,10)の正規分布に従うある果物について100個を1セットとし、1セット辺りの重さ平均が1000である時、誤差200に収まる確率を求めよ

No.1 ベストアンサー 回答者： yhr2 回答日時： 2023/03/02 23:17

① 「当たりか外れか」という「二者択一」なので「二項分布」します。

確率 p の事象が、n 回試行して r 回実現する確率は

　P(n, r) = nCr × p^r × (1 - p)^(n - r)

要するに、
・確率 p の「当たり」が r 回起こる
・確率 (1 - p) の「外れ」が (n - r) 回起こる
・n 回の中で当たり r 回が何回目になるかは nCr とおり
なので、これをかけ合わせる。

しかし、これを計算するのは大変なので（「28以上」なので、28, 29, 30, 31・・・をすべて計算しないといけない）、「正規分布」で近似することで「標準正規分布表」が与えられていませんでしたか？

二項分布では
・期待値（平均値）：np = 100 × 0.2 = 20
・分散：np(1 - p) = 100 × 0.2 × 0.8 = 16
なので、二項分布は試行回数が多くなれば「正規分布 N(20, 4^2)」で近似できます。（分散が「16」ということは、標準偏差が「4」ということ）
これを「標準正規分布」に規格化すると
　Z = (X - 20)/4
なので、X=28 だと
　Z = (28 - 20)/4 = 2
であり、
　P(X≧28) = P(Z≧2)
これを「標準正規分布表」（下記）から読み取れば
　P(Z≧2) = 0.02275

標準正規分布表
↓
https://unit.aist.go.jp/mcml/rg-orgp/uncertainty …


② N(7,10)の正規分布に従う母集団から「サンプルサイズ 100」で採取した場合の「サンプル平均」の分布は
・平均：7 × 100 = 700
・標準偏差：√(10/100) × 100 = 10√10 ≒ 31.62
ということになります。

問題文の「1セット辺りの重さ平均が1000である時、誤差200に収まる確率」というのが何を意味しているのかよく分かりません。
問題文は正しいですか？

この回答へのお礼

早速のご回答ありがとうございます！
①については理解できました。確かに標準正規分布を使うというのはあったのですがどう使うのか(二項分布がN(np, np(1-p))に従うという事を忘れていました。)

②については覚えている範囲でなので確実ではないです。ただ、今にして思えば800≦Z(おそらくZ=(1000-700)/31.62の事)≦1200となる確率を考えるという事だったのかなと感じました。
ちなみに、
「サンプルサイズ 100」で採取した場合の「サンプル平均」の分布で何故標準偏差は√(10/100) × 100という計算になるのでしょうか…？
勉強不足ですみません

お礼日時：2023/03/02 23:40

No.3 回答者： kamiyasiro 回答日時： 2023/03/03 07:08

「分散の加法性」ですね。

100倍しているのではなく、100個加えているんです。

ところで、300ｇは籠の重さですか。
そう考えないと、#2さんも書かれているように、今回の観測すらまず起こり得ないですよね。

この回答へのお礼

ご回答ありがとうございます！
理解しました。
問題に関してはまた出くわして分からなかったら質問させて頂きますm(_ _)m

お礼日時：2023/03/03 07:18

No.2 回答者： yhr2 回答日時： 2023/03/03 00:46

No.1 です。

「お礼」に書かれたことについて。

①は解決済みということでよろしいですか？

②は、標準正規分布に規格化して
　Z = (X - 700)/31.62
だとすると、
X = 800 だと Z = (800 - 700)/31.62 ≒ 3.62 なので
　P(800≦X) = P(3.62≦Z) = 0.000147 (= 0.0147%)
X = 1200 だと Z = (1200 - 700)/31.62 ≒ 138 なので
　P(1200≦X) = P(138≦Z) ≒ 0
ですよ？

＞「サンプルサイズ 100」で採取した場合の「サンプル平均」の分布で何故標準偏差は√(10/100) × 100という計算になるのでしょうか…？

サンプル平均の分散（サンプルの１個あたりの分散）が
　σ^2 /n = 10/100
で、その標準偏差が
　√(10/100)
であり、その「100個合計」の標準偏差は
　√(10/100) × 100
になります。

サンプル平均の分散（サンプルの１個あたりの分散）が 10 なので、100個分の分散和が 10 × 100 であり、その標準偏差が
　√(10 × 100)
になると計算しても同じ結果です。

この回答へのお礼

ご回答ありがとうございます
記載が間違えているのかもしれません。もしまた同じ問題に出くわして分からなかったら質問させて下さい。
助かりましたm(_ _)m

お礼日時：2023/03/03 07:16