離散的な2つの確率変数 X、Y が独立な場合の期待値

Aは普通のサイコロ、Bは6がなく1が2面あるサイコロである。この2つサイコロを同時に振ったとき、Aの出る目をX、Bの出る目をYで表す。E[X]、E[Y]を求めよ。

[X]/[Y] [1]　　　　[2]　　　　[3]　　　　[4]　　　[5]　　　[P(X=x)]
[1]　　[2/36]　　[1/36]　　[1/36]　　[1/36]　　[1/36]　　[1/6]
[2]　　[2/36]　　[1/36]　　[1/36]　　[1/36]　　[1/36]　　[1/6]
[3]　　[2/36]　　[1/36]　　[1/36]　　[1/36]　　[1/36]　　[1/6]
[4]　　[2/36]　　[1/36]　　[1/36]　　[1/36]　　[1/36]　　[1/6]
[5]　　[2/36]　　[1/36]　　[1/36]　　[1/36]　　[1/36]　　[1/6]
[6]　　[2/36]　　[1/36]　　[1/36]　　[1/36]　　[1/36]　　[1/6]
--------------------------------------------------------------
P(Y=y)　[2/6]　　[1/6]　　[1/6]　　　[1/6]　　　[1/6]　　　[1]

という表を作って以下のように求めましたが、合ってますか？

2/36+1/36+1/36+1/36+1/36 = 1/6
は X=1～6 で共通なので
∴E[X] = (1+2+3+4+5+6)(1/6) = 21/6 = 7/2

Y=1の場合
2/36+2/36+2/36+2/36+2/36+2/36 = 1/3
Y=2～5の場合
1/36+1/36+1/36+1/36+1/36+1/36 = 1/6
∴E[Y] = 1(1/3) + (2+3+4+5+6)(1/6) = 1/3 + 20/6 = 11/3

質問者からの補足コメント

• 

  あれ、ログインしているのに
  「まだベストアンサーが選べない」
  と出てしまう。なんでかな？

    補足日時：2023/04/14 17:25

No.4 ベストアンサー 回答者： ありものがたり 回答日時： 2023/04/14 13:45

E[X] は、それでok.

E[Y] は、E[Y] = 1(2/6) + 2(1/6) + 3(1/6) + 4(1/6) + 5(1/6) = 8/3 でないと。
Y = 6 には、ならんでしょ。

あと、細かいことだけど、
ふたつのサイコロの出目が独立なことは明示的に仮定したほうがいい。

この回答へのお礼

> E[Y] は、E[Y] = 1(2/6) + 2(1/6) + 3(1/6) + 4(1/6) + 5(1/6) = 8/3 でないと。
> Y = 6 には、ならんでしょ。
　ああ！ そうですね！
　ありがとうございました。

お礼日時：2023/04/14 14:53

No.3 回答者： stomachman 回答日時： 2023/04/14 13:44

そもそもX,Yは互いに独立なので、E[X]、E[Y]の計算に際してX,Yの組み合わせの表を作る必要は（いくら「同時に振ったとき」と言われたからって）ありません。

　　E[X] = (1+2+3+4+5+6)(1/6)
　　E[Y] = (1+2+3+4+5+1)(1/6)
だけで十分です。

No.2 回答者： yhr2 回答日時： 2023/04/14 11:47

期待値の値は合っています。

お示しの表はX, Y の同時確率のようですが、E[X]、E[Y] を求めるだけなら、この表は必要ないと思います。
単に、偏りのない、均一なサイコロであることを示すためのものでしょうか。

理想的なサイコロであれば

P(X=n) = 1/6 （n=1~6)

P(Y=m) = 1/3 (m=1)
or　　　= 1/6 (m=2~5)

と考えてよいでしょうから。

それとも、問題は次にも続いていて、「同時確率」と「周辺確率」の操作を学ぶために必要な表なのでしょうか？

この回答へのお礼

丁寧な回答まことにありがとうございました。
> それとも、問題は次にも続いていて、「同時確率」と「周辺確率」
> の操作を学ぶために必要な表なのでしょうか？
　問題はわたしが期待値は分散の計算を理解するために適当に作ったものです(^O^)。
　X、Y が独立ならば
　　E[XY] = E[X]E[Y]
であり、その証明も参考書に載っているのですが、X、Y が独立でない場合のE[XY]の計算がよく
わからないので、まず独立な場合で表を作ったまでのことです。これについては改めて質問させていただきます。

お礼日時：2023/04/14 13:16

No.1 回答者： Georgia.Rain. 回答日時： 2023/04/14 08:36

はい。

根拠はありませんが概ね合ってます。