コインは何回投げられますか。

まず、最初にコインはn回投げることができます。

もしも、表が出たら、そこから、さらに、あとn回投げることができます。

連続してn回、裏が出たら終了です。

コインは平均して何回投げることができますか。
(nの式で教えてください)

No.1 ベストアンサー 回答者： usa3usa 回答日時： 2023/04/20 07:45

考え方は以前の質問と同じで

「平均してX回投げることができる」として方程式を立てればよいだけです

https://oshiete.goo.ne.jp/qa/13417520.html


「X回投げることができる」の内訳は、
1回目に表が出れば、１＋X回投げることができる
1回目が裏の場合は2回目が表の場合と裏の場合で場合分けする
裏表なら、2+X回投げることができる
裏裏なら、３回目が表の場合と裏の場合で場合分けする
以下同様に
K回目まで裏が続く場合はK+1回目が表の場合と裏の場合で場合分けする
そしてN回目まですべて裏が続く場合はこれで終わりなので、N回投げることができる

これを具体的な式で書けばOKです。
★具体的な式に関しては、（私は計算が不得意なので、間違うこと確実なので）ほかの回答者にお任せします。すいません。

No.2 回答者： ありものがたり 回答日時： 2023/04/23 17:09

誰も書かないので、計算を書いとくかな。

コインの裏が出る確率を p と置く。
usa3usa さんの立式で、
X = (1-p)(1+X) + p(1-p)(2+X) + (p^2)(1-p)(3+X) + ... + (p^(n-1))(1-p)(n+X) + (p^n)n.
両辺を p 倍して、
pX = p(1-p)(1+X) + (p^2)(1-p)(2+X) + ... + (p^(n-1))(1-p)(n-1+X) + (p^n)(1-p)(n+X) + (p^(n+1))n.
引き算して
(1-p)X = (1-p)(1+X) + { p(1-p) + (p^2)(1-p) + ... + (p^(n-1))(1-p) } - (p^n)(1-p)(n+X) + (1-p)(p^n)n
より、
X = { 1 + X } + { p + p^2 + ... + p^(n-1) } - { (p^n)n + (p^n)X } + (p^n)n,
(p^n)X = 1 + p + p^2 + ... + p^(n-1)
　　　= (1 - p^n)/(1 - p),
X = (1 - p^n)/{ (1 - p)p^n }.

p = 1/2 を代入すると、
X = (1 - 1/2^n)/{ (1 - 1/2)(1/2)^n }
　= 2(2^n - 1).