コインは何回投げられますか(その2)

はじめ、コインを2回投げることができます。

ルールは、
コインの表が出れば、そこから、さらに、あと2回コインを投げることができます。

2回続けて裏が出たら終わりです。

また、コインはいくら連続しようともa回まで投げると終わりです。(a≧2)

コインは平均して何回投げることがでますか。

質問者からの補足コメント

• あらかじめ、コインは最大でa回までしか投げられないと決まっています。(a≧2)
  これが最も守るべきルールです。
  
  
  その枠内で、
  はじめ、コインを2回投げることができます。
  
  コインの表が出れば、そこから、さらに、あと2回コインを投げることができます。(最大回数のaの制約により2回も投げられないときはaまで投げきって終わりです)
  
  2回続けて裏が出たら終わりです。

    補足日時：2023/04/11 21:07

No.6 回答者： ありものがたり 回答日時： 2023/04/15 20:25

誤字があった。

E(a) = (1/(2√5)){ S(α/2,a) - S(β/2,a) }
= (1/(2√5)){ (13+6√5) - (1/8)(95+63√5)(α/2)^a - (3+√5)a(α/2)^a
　　　　　- ( (13-6√5) - (1/8)(95-63√5)(β/2)^a - (3-√5)a(β/2)^a ) }
= 6 - { (1/16)(63+19√5)(α/2)^a - (1/16)(63-19√5)(β/2)^a }
　　- { (1/10)(5+3√5)a(α/2)^a - (1/10)(5-3√5)a(β/2)^a }
= 6 - (1/16){ (63+19√5)((1+√5)/4)^a - (63-19√5)((1-√5)/4)^a }
　　- (a/10){ (5+3√5)((1+√5)/4))^a - (5-3√5)((1-√5)/4))^a }.

No.5 回答者： ありものがたり 回答日時： 2023/04/15 20:22

No.4 は計算違いしたっぽいので、やりなおし。

[3]より
S(r,m)/r^m　-　S(r,m-1)/r^(m-1)
= { r(2-r)(1/r)^m - 1 }/(1-r),

S(r,m)/r^m
= S(r,2)/2^2　+　Σ[k=3..m]{ r(2-r)(1/r)^k - 1 }/(1-r)
= (2r^1)/4 + { r(2-r) Σ[k=3..m] (1/r)^k　-　Σ[k=3..m] 1 }/(1-r)
= r/2 + { r(2-r) (1/r^3){ 1 - (1/r)^(m-2) }/(1 - 1/r) - (m-2) }/(1-r)
= r/2 + { (2-r) { (1/r)^(m-2) - 1 }/{ r(1-r) } - (m-2) }/(1-r)
= r/2 + { (2-r)(1/r)^(m-2) - (2-r) - (m-2)r(1-r) }/{ r(1-r)^2 }
= { (r^2)(1-r)^2 + 2(2-r)(1/r)^(m-2) - 2(2-r) - 2(m-2)r(1-r) }/{ 2r(1-r)^2 }
= { 2(2-r)(1/r)^(m-2) + (r^4-2r^3-3r^2+6r-4) - 2r(1-r)m }/{ 2r(1-r)^2 },

S(r,m)
= { 2(r^2)(2-r) + (r^4-2r^3-3r^2+6r-4)r^m - 2r(1-r)mr^m }/{ 2r(1-r)^2 }.

r = α/2, β/2 を代入して整理すると、
S(α/2,m)
= { (1/4)(2α+3) + (1/16)(31α-78)(α/2)^m - (1/2)(α-1)m(α/2)^m }/{ (1/4)(2α-3) }
= (2α+3)/(2α-3) + {(1/4)(31α-78)/(2α-3)}(α/2)^m - {2(α-1)/(2α-3)}m(α/2)^m
= (13+6√5) - (1/8)(95+63√5)(α/2)^m - (3+√5)m(α/2)^m,
S(β/2,m)
= (13-6√5) - (1/8)(95-63√5)(β/2)^m - (3-√5)m(β/2)^m.

これを [1] へ適用すると、
E(a) = (1/(2√5)){ S(α/2,a) - S(β/2,a) }
= (1/(2√5)){ (13+6√5) - (1/8)(95+63√5)(α/2)^m - (3+√5)m(α/2)^m
　　　　　- ( (13-6√5) - (1/8)(95-63√5)(β/2)^m - (3-√5)m(β/2)^m ) }
= 6 - { (1/16)(63+19√5)(α/2)^m - (1/16)(63-19√5)(β/2)^m }
　　- { (1/10)(5+3√5)m(α/2)^m - (1/10)(5-3√5)m(β/2)^m }
= 6 - (1/16){ (63+19√5)((1+√5)/4)^m - (63-19√5)((1-√5)/4)^m }
　　- (m/10){ (5+3√5)((1+√5)/4))^m - (5-3√5)((1-√5)/4))^m }.

あーしんど。

No.4 回答者： ありものがたり 回答日時： 2023/04/15 15:03

前回の回答を↓の No.22 で修正したが、

https://oshiete.goo.ne.jp/qa/13417520.html
今回は ｎ≦a であることが「最も守るべきルール」ということなので、
先の回答の [3] を真面目に解いていてみる。

E(a) = (1/(2√5)){ S(α/2,a) - S(β/2,a) },　←[1]
S(r,m) = Σ[n=2..m] n・r^(n-1).　　　　　　←[2]

[2]より、
S(r,m) - r・S(r,m-1)
= 中略 = (2r - r^2 - r^m)/(1-r).　←[3]

[3]より
S(r,m)/r^m - S(r,m-1)/r^(m-1)
= { 2(1/r)^(m-1) - (1/r)^(m-2) - 1 }/(1-r)
なので、
S(r,m)/r^m
= S(r,2)/2^2 + Σ[k=3..m] { 2(1/r)^(k-1) - (1/r)^(k-2) - 1 }/(1-r)
= (2r^1)/4 + { (2-r) Σ[k=3..m] (1/r)^(k-1) - Σ[k=3..m] 1 }/(1-r)
= r/2 + { (2-r) (1/r^2){ 1 - (1/r)^(m-2) }/(1 - 1/r) - (m-2) }/(1-r)
= { (r^4-2r^3+r^2+r-2) + (2-r)(1/r)^(m-2) - (m-2)r(1-r) }/{ 2r(1-r)^2 }.
よって、
S(r,m)
= { (r^4-2r^3+r^2+2r-4)r^m + 2(r^2)(2-r) - 2(m-2)r(1-r)r^m }/{ 2r(1-r)^2 }.

これを [1] へ適用すれば E(a) が得られる。

No.3 回答者： Tacosan 回答日時： 2023/04/12 20:24

「ちょうど k回で終わる確率」を k の式で書いて平均の式に突っ込むと, 和を開くことができると思うよ＞#2.

確率の漸化式を解け, とか等比数列の和を計算できるか, とかの話になるはず.

No.2 回答者： tknakamuri 回答日時： 2023/04/11 23:19

級数で表現するなら

a枚以下で最後が表裏裏でそれより前は裏はとなりあわない確率×枚数
+a枚で裏が隣合わない場合の確率×a

∑[n=2→a]{n∑[m=0→floor((n-2)/2](n-m-2)Cm/2^n}
+ aΣ[m=0→floor((n+1)/2](n-m+1)Cm/2^a)

これ、aを充分大きくすると6に収束するから
多分合ってる。
只し、a<3では怪しいかも。
ただ、∑除いた式に変形出来るのか良くわからん。

No.1 回答者： Tacosan 回答日時： 2023/04/11 21:21

単に

・コインを最大で a (≧2) 回投げることができる
・2回連続して裏が出たら終わり
・コインを投げる回数の平均はいくらか
と書けばいいのに, なんでこんな不自然な書き方をしてるんだろうか....

原理的には定義通りに計算するだけだね.