写真は平面曲線(y＝f(x)で表せないグラフ)の接ベクトルと接線の方程式について述べたものなのですが

写真は平面曲線(y＝f(x)で表せないグラフ)の接ベクトルと接線の方程式について述べたものなのですが、２つほどわからないことがあります。
①写真の赤線部のように接ベクトルは媒介変数t0で表されたx=ψ1(t0),y=ψ2(t0)をそれぞれ微分したものの成分(つまりγ'(t0)=(ψ1'(t0),ψ2'(t0)))が接ベクトルということですが、これがなぜ接ベクトルになるのかがわからないです。
確かに写真のようにPPh→/|PPh→|のhを0に近づけたら(つまりPhをP0に近づける)赤丸の式のようにγ'(t0)が分子に出てきますが、これはPPh→/|PPh→|のときに出てくるのであってPPh→だけのときにhを0に近づけてもγ'(t0)にはならないと思いました。
(lim[h→0]PPh→= γ'(t0)は成り立たない)なぜ、γ'(t0)=(ψ1'(t0),ψ2'(t0))が接ベクトルになるのか解説おねがいします。

②青線部は媒介変数t0における曲線の接線の方程式ですが、これは高校数学の数IIで習う直線の方程式と比べると単位接ベクトルが接線の傾きになっていると思うのですが、なぜ単位接ベクトルが接線の傾きになるのでしょうか？

以上の2点について回答おねがいします。

写真1枚目: https://d.kuku.lu/fnbhrrugd

写真2枚目: https://d.kuku.lu/5ap2jmg7m

写真1枚目と2枚目は繋がっています。

No.2 回答者： ありものがたり 回答日時： 2024/07/23 14:25

曲線のパラメータ表示をそのパラメータで微分したものを「接ベクトル」と呼びます。

パラメータ表示のしかたは一意ではありませんから、パラメータの入れ方によって
同じ点における接ベクトルは異なります。しかし、パラメータをどのようにとっても、
同じ点での接ベクトルどうしはスカラー倍の関係にあります。そのため、
接ベクトルをその長さで割ったものは曲線上の点に対して一意に定まります。
それが、「単位接ベクトル」です。
｜PPh→/｜PPh→｜｜ = ｜PPh→｜/｜PPh→｜ = 1 ですよね。

No.1 回答者： ありものがたり 回答日時： 2024/07/20 13:50

①

lim[h→0]PPh→ = γ’(t0) は成り立たちません。
lim[h→0]PPh→ = 0→ になります。
曲線が連続なら必ず 0→ になるので、
lim[h→0]PPh→ が接ベクトルのわけがないです。

PPh→ と PPh→/｜PPh→｜ は、(h≠0 である限り)
常に方向が同じですよね？
だから lim[h→0]PPh→/｜PPh→｜ によって
接ベクトルを定義するのです。
これは、なぜそうなるかという話ではなく、
lim[h→0]PPh→/｜PPh→｜ のことを「接ベクトル」と
呼ぶことに決めた...という、言葉の定義の話です。

②
これも同様。
曲線上の一点を通り、その点での接ベクトルと平行な直線
のことを「接線」と呼ぶ...と定義しただけです。

用語を定義するにあたって、幾何学的直感には
あまり依存しないほうがいい。定義があいまいになるだけですから。

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。
＞だから lim[h→0]PPh→/｜PPh→｜ によって接ベクトルを定義するのです＜
この部分についてですが、添付した写真の解説ではlim[h→0]PPh→/|PPh→|は単位接ベクトルと定義していますが、単位接ベクトルと接ベクトルは同じなのでしょうか？回答者様の言う通り
lim[h→0]PPh→がは0→になってしまうことから接ベクトルではないという説明も分かるのですが、そうなるとこの添付した写真において接ベクトルとは一体何を指しているのでしょうか？

お礼日時：2024/07/23 13:17