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無風状態で1時間に5㎜の雨がふっています。

この雨は、30分後にピッタリやむ確率は50%です。やめば雨はまったく降らないし、やまなければ1時間に5㎜の雨が最低5分は振り続けます。

上面が20×50平方cm、前面が170×50平方cmの直方体を30分後に時速Vで5分間走らせます。

30分後にこの立方体が走るとして、浴びる水の量の期待値はどのぐらいですか。


(質問2)
願わくば、上記の具体的な数値(V以外も)を一般的な文字に変えて、教えてください。

A 回答 (3件)

あ、降水量の取扱いが間違ってた。


訂正:
1時間に5㎜の雨は、1時間に1cm²あたり0.5gの水が降るのだから、
ρ = 0.5 [g/cm³] × √(V^2 + U^2) × S ではなくて
ρ = (0.5/60) [g/(cm²・分)] × S [cm²] が正しい。
いずれにせよ、 S を求めるのに U の値が要るのは変わらないけど。
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No.1 の [1] については、


雨滴の落下速度が必要で、与えられていないから U と置こう。
U の単位は、V と同じものを使うとする。

直方体から見て、雨は (V,U) の速度ベクトルで降ってくるように見えるから、
直方体の雨滴方向に対する断面積 S は
tanθ = U/V と置いて S = (20×50)sinθ + (170×50)cosθ [cm²].

1時間に5㎜の雨ということは、
水の比重を 1 として雨の空間密度は 0.5 [g/cm³] なので、
直方体が濡れる量は ρ = 0.5 [g/cm³] × √(V^2 + U^2) × S.
各値の単位を適切に換算して、ρ は [g/分] の単位で求めるものとする。

No.1 の [2] については、
30分後から5分毎に「確率50%で雨がピッタリ止む」という確率試行を繰り返す。
止むまでは、雨は1時間に5㎜の量で降り続けるものとする。
...という意味だと解釈することにしよう。

降水時間の期待値に上記の ρ を掛ければ浴びる水の量の期待値が出る。
降水時間の期待値 τ は
τ = 30・(50/100)
 + 35・(1 - 50/100)・(50/100)
 + 40・(1 - 50/100)^2・(50/100)
 + 45・(1 - 50/100)^3・(50/100)
 + ...
 = lim[n→∞] T(n),
ただし T(n) = Σ[k=0→n] (30+5k)(1/2)^(k+1).

T(n+1) - (1/2)T(n)
= Σ[k=0→n+1] (30+5k)(1/2)^(k+1) - (1/2)Σ[k=0→n] (30+5k)(1/2)^(k+1)
= Σ[k=0→n+1] (30+5k)(1/2)^(k+1) - Σ[k=0→n] (30+5k)(1/2)^(k+2)
= (30+5・0)(1/2)^(0+1) + Σ[k=1→n+1] (30+5k)(1/2)^(k+1) - Σ[j=1→n+1] (30+5(j-1))(1/2)^((j-1)+2)
= 15 + Σ[k=1→n+1]{ (30+5k)(1/2)^(k+1) - (30+5(k-1))(1/2)^((k-1)+2) }
= 15 + Σ[k=1→n+1] 5(1/2)^(k+1)
= 15 + (5/4){ 1 - (1/2)^(n+1) }/{ 1 - 1/2 }
= 35/2 - (5/4)(1/2)^n.

n→∞ の極限を取れば、
τ - (1/2)τ = 35/2 - 0 より τ = 35 [分].

ρ×τ の具体的な値を求めるには、U の値が判らないと。
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2つの問題の組み合わせになっている。



[1]一定の雨が降り続けている間については:
 上面については単純で、雨に晒される時間×上面の面積×雨量 の分だけ水をかぶる。
 一方、前面は、移動する距離×前面の面積 でできる体積Vを考えます。で、或る瞬間にその体積Vの中に存在する雨滴の分だけ水をかぶる。ですから、移動する速さは無関係(途中で変化しても構わない)。しかし、体積V中の雨滴の量を雨量から算出するには、雨滴の落下速度の情報が必要です。

[2] 雨がいつ止むか、という話については:

> 1時間に5㎜の雨が最低5分は振り続け

だけじゃ不足で、「降り続ける時間」という確率変数の確率密度がわからんとどうにもならんですね。
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