100本のくじにあたりが10本あるとき、10本引いたときに当選する確率は？

100本のくじにあたりが10本、はずれが90本あるときに10本くじを引いたときに少なくとも1本当たる確率は理論上100%になるはずですよね・・・？　違いますか？

変な質問ですが、最近非常に疑問に思っていて、やさしく解説してくれるかた、リンクを教えてくれる方お待ちしております。

No.5 ベストアンサー 回答者： kumipapa 回答日時： 2008/06/07 23:34

質問者さんが言われているのは、

１本くじを引いたとき、それがあたりである確率は 10/100 = 1/10
だから、１０本のくじをひけば、1/10 × 10 = 1
なので、理論上１００％ということかな？が、これは間違いです。
くじを引くたびに、まえのくじがあたりだったかはずれだったかで、あたりが出る確率が変化するので、期待値を求めるにしても×10とはならないのです。また、かりにあたりの確率が 1/10 で変化しなかったとしても、×10で求められるのは期待値であって、確率ではありません。期待値というのは、「１０本引いたらそのうち何本があたりだと期待できるか」ですから、かりにそれが１になったとしても、「必ずあたる」のではなくて、あくまでも「１０本のうち１本あたりだと『期待』できる」という程度のことであり、「１０本引く」という行為を何度も繰り返し行えば、（あたりは２本の場合も０本の場合もあるが）平均して１本のあたりがあるということです

１０本引いて少なくとも１本あたりを引く確率というのは、計算を楽にするために、「１０本引いて、全部はずれ」の確率を計算して１から引いて求めます。それによって、１本あたり、２本あたり・・・、１０本全部あたりの確率の合計を求めることができる。

で、全部はずれる確率を計算すると、順に１本ずつ合計１０本のくじをひく（一度引いたくじは戻さない）ことを考えると、
１本目がはずれの確率　90 / 100
２本目もはずれの確率　89 / 99
３本目もはずれの確率　88 / 98
・・・
１０本目もはずれの確率　81 / 91
なので、１０本連続してすべてはずれる確率は (90×89×・・・×81) / (100×99×・・・×91) ≒ 0.33
よって、少なくとも１本あたりを引く確率はおよそ 0.67 （67%)

同時に１０本引く場合も確率は同じ。一本もあたりを引かない確率は、
90Ｃ10 / 100Ｃ10 ≒ 0.33　 （１本ずつ引くときと結局同じ式になる）
よって、少なくとも１本あたりを引く確率はおよそ 0.67

No.4 回答者： Oxia 回答日時： 2008/06/07 23:27

おそらく

「100本のくじにあたりが10本あり、その中から一本引いた時、1/10の確率で当たる」ということから、その試行を１０回繰り返すので、
(1/10) × 10 = 1
ということで、100%と考えたのだと思いますが、
一回目に当たる確率
一回目を引いてから、二回目に当たる確率（一回目は当たっていても外れていてもよい）
一回目、二回目を引いてから、三回目に当たる確率
・・・

と考えていくと、それぞれ確率は違います。
それぞれを求めていってもよいのですが、それでは大変なので、
「余事象」、つまり、ここでは「100本のくじにあたりが10本あり、10回ひいたときに1本も当たらない確率」を求め、それを100%から引いて求めます。

「100本のくじにあたりが10本あり、10回ひいたときに1本も当たらない確率」は、
一回目はずれ・・・100本中90本がはずれなので、90/100 = 9/10
二回目はずれ・・・99本中89本がはずれなので、89/99
三回目はずれ・・・98本中88本がはずれなので、88/98 = 44/49
・・・
となっていきますが、結局これは、
(90P10)/(100P10)
ということになります。
つまり、
分母は、100～91までの積
分子は、90～81までの積
ということになり、この値が、
「100本のくじにあたりが10本あり、10回ひいたときに1本も当たらない確率」です。
これを計算すると、だいたい0.330476211
つまり、約33%です。

よって、「100本のくじにあたりが10本あり、10回ひいたときに少なくとも1本当たる確率」は、
100% - 33% = 67%
ということになり、
67%
が答えです。

No.3 回答者： notnot 回答日時： 2008/06/07 23:16

（少なくとも１本当たる確率）＝１ー（全部はずれる確率）です。

従って、引く本数が90本以下なら絶対に100%にはなりえません。
引く本数が91～100本なら100%ですけど。

10本引いて全部はずれる確率は、(90/100)x(89/99)x(88/98)x・・・x(81/91)=約0.33

従って少なくとも1本当たるのは77%くらいです。

No.2 回答者： jirounonus 回答日時： 2008/06/07 22:49

んー。

一本ずつ引いていくのか（当たった時点で引くのはＳＴＯＰ）、１０本一度に引くのか（あるいは、一本ずつ引いていって当っても１０本目まで引く）で違うのではないでしょうか？

前者なら
１本目で当たる
１０／１００
２本目で・・
９０／１００×１０／９９
３本目で・・
９０／１００×８９／９９×１０／９９
・
・
・
１０本目で・・
９０／１００×８９／９９×・・・・×８１／９１×１０／９０
これを整理して
（10/100)+(90/100・10/99)+・・・・＋(90/100・・・・10/90)
となりませんか？
すると、これはどう頑張っても１にはならない。
計算するのが面倒ですが、
1/10+1/33(89/98+88/97・・・・81/91)
なので、12%強に収まりませんか？

後者であれば、
１本当る、２本当る・・・１０本当る
をそれぞれ、掛け合わせて、合計するんでしょうか。
それでも、分母と分子は、同じにはならない。

だから確率は１にはならない。

かなあ。

No.1 回答者： koko_u_ 回答日時： 2008/06/07 22:36

>少なくとも1本当たる確率は理論上100%になるはずですよね・・・？　違いますか？

違います。普通に考えて、あたりが 10本しかないので、10回続けてスカを引くことも「十分」考えられますよね。