当たりが2本、はずれが5本混ざったくじが箱に入っている。

当たりが2本、はずれが5本混ざったくじが箱に入っている。今、AさんとBさんの2人が順番にくじを引く。このとき、どちらか1人だけが当たりを引く確率はいくらか。ただし一度引いたくじは戻さないものとする。
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教材の回答が以下となっています。
　↓　↓　↓
どちらか1人だけが当たりを引く
⇒Aさんが当たってBさんがはずれる、もしくはAさんがはずれてBさんが当たる場合である。
Aさんが当たってBさんがはずれる確率
2/7×5/6=5/21
AさんがはずれてBさんが当たる確率
5/7×2/6=5/21
よって、どちらか1人だけが当たりを引く確率は
5/21+5/21=10/21
正解: 10/21
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私は、(2C1*5C1)/7C2=10/21と解きました。

解き方が違うだけだな、と最初は深く考えていなかったのですが、
私の回答と教材の回答を比較していたらだんだんよく分らなくなってきたので教えてください。

教材の回答ではAさんとBさんを別々に考えて最後にそれを足しています。
私のように組み合わせで考えた場合、AさんとBさんのそれぞれについては考えていないですよね？
それともこれで考えたことになるのでしょうか？

・教材ではそれぞれの場合を足す
・私は足していない

ここが分かるような分からないような、、、、
どなたか分かりやすくご説明いただけないでしょうか。

数学は非常に苦手な人間なので細かく教えていただけるとうれしいです。
よろしくお願いします。

質問者からの補足コメント

• ありがとうございます。
  すいません、3点補足で教えてください。
  
  >クジの割り当て方が 2C1*5C1*1 通り
  ①ここの「*１通り」に関しては、「Aさんが当たって Bさんが外れる場合」が「1通り」という理解で合っていますでしょうか。
  
  >全ての割当て方が 7C2*2! 通り
  ②こちらの「*２!」が何を意味しているのか分かりません。。教えてください。
  
  ③私の解答方法が間違っていたようなので、この問題に関してはたまたま私の出した答えと正解が同じだったというだけでしょうか。

  No.1の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2020/08/14 21:17

• 何度もありがとうございます。
  
  ②計算結果だけでなく、意味合い的にも7P2と同じことをしているということでしょうか。
  ③No.1でご教示いただいた下記aと、補足でご教示いただいた下記bがどうも私の中で結びつきません。
  
  「あなたの解法では、2C1 通りで選んだ当たりクジと 5C1 通りで選んだ外れクジをAさんと Bさんのどちらに割り当てるかを考えていません。」・・a
  「あなたの考え方は正しく、だから答えも正しく出ています。けっして偶然ではありません。」・・b
  
  私はAさんと Bさんのどちらに割り当てるかを考えていなかったのに、なぜ考え方が正しく答えも正しいのか。。
  答えを出すなら今後も同じような問題には私の解法でよいのかと思いますが、理屈が分からないとどうも腹落ちしないのでお手数ですがご教示願えますでしょうか。
  
  なんとなく「C」に対する私の理解が浅いのかなと感じていますがいかがでしょうか

  No.2の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2020/08/15 07:09

No.4 ベストアンサー 回答者： ゼロプライム 回答日時： 2020/08/17 21:19

解き方が違うだけです。

どちらも正しいです。

くじに番号をつけます。当たりくじを１，２、はずれくじを３，４，５，６，７とします。
[1] Aがくじ１を引き、Bがくじ２を引くという事象を (1,2) のように表すとします。
全事象は、₇P₂＝42（通り）あります。
この42通りの事象は同様に確からしいので、これをもとにして確率を求めることができます。
求める場合は、
①Aが当たりを引きBがはずれを引く場合
(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(1,7),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(2,7) の10通り
②Aがはずれを引きBが当たりを引く場合
(3,1),(4,1),(5,1),(6,1),(7,1),(3,2),(4,2),(5,2),(6,2),(7,2) の10通り
したがって、求める確率は、
(10+10)/₇P₂=20/42=10/21

[2] AとBが引くくじをまとめて考えて、一方が１を引き、他方が２を引くという事象を (1と2) のように表すとします。
全事象は、₇C₂=21（通り）あります。
この21通りの事象は同様に確からしいので、これをもとにして確率を求めることができます。
求める場合は、
(1と3),(1と4),(1と5),(1,と6),(1と7),(2と3),(2と4),(2と5),(2と6),(2と7) の10通り
したがって、求める確率は、
(₂C₁×₅C₁)/₇C₂=10/21

この問題では、A、Bの2人が順番にくじを引くということを１つの試行として考えることできます。
[1] の解き方は、A、Bが引くくじを区別して考えているので、Aがくじを引くという試行とBがくじを
引くという試行の２つの試行の連続と考えることができます。
そのように考えて、 A、Bそれぞれの試行における確率を求めて計算したのが教材の解答です。

この回答へのお礼

何度もありがとうございます、ようやく腹落ちしました。
ここまでご説明いただかないと理解できないのがお恥ずかしいです。。
本当に助かりました。
ありがとうございました！

お礼日時：2020/08/18 10:46

No.3 回答者： ありものがたり 回答日時： 2020/08/15 12:25

そこで、回答には無かった 7P2 が登場するところを見ると、

あなた自身既に理解しているのではないかと思いますが...

あなたの解法は、全事象を取り出された２枚のクジの組み合わせに置いており、
解答の解法は、全事象をA,B２人が取るクジの対に置いています。
それぞれの総数が 7C2 と ７P2 です。
ここまでの回答では、7P2 を 7C2*2! と書いていますが。

a の考え方では、A,Bそれぞれが２枚のクジのうちどちらを取るかを
全事象の時点から区別していないので、Aが当たりBが外れる状況と
Bが当たりAが外れる状況を区別する方法がそもそもありません。
それでも、「どちらか1人だけが当たりを引く確率」を求める上では
何の支障もないわけです。それが、b の意味です。

それでも敢えて解答の解法に寄せて、あなたの解法から
Aが当たりBが外れる状況とBが当たりAが外れる状況を区別しようとすれば、
７枚から２枚を取り出した後で、その２枚をAとBに割り当てることを考える
しかありません。それを行ったのが No.1 です。

７C2 を全事象に置いても 7P2 を全事象に置いても構わない理由は、
７枚から２枚を取り出す組み合わせ７C2 通りのひとつひとつが
７枚をA,Bに割り当てる7P2通りの２個づつに対応しているからです。
この「２個づつ」が７C2通りの全てについて共通であるため、
確率を考えるときに、7C2個中の何個で考えても
７P2個中の何個で考えても、同じ値が出るのです。

この回答へのお礼

まだ完璧に分かってないとは思いますが、少し何かつかんだと思います。
何度もありがとうございました。

お礼日時：2020/08/16 18:43

No.2 回答者： ありものがたり 回答日時： 2020/08/14 23:08

①

2C1*5C1 通りで選び出した当たりクジと外れクジを
Aさんと Bさんに割り当てる割り当て方が 1 通りです。
②
7C2 通りで選び出した 2枚のクジを
Aさんと Bさんに割り当てる割り当て方が 2! 通りです。
①のときと違って、どちらのクジをどちらの人に
割り当ててもよいわけですからね。
③
あなたの考え方は正しく、だから答えも正しく出ています。
けっして偶然ではありません。
あなたの考え方を、全く異なる「解答」の計算過程と
対応させると、No.1 のようになるだけです。

No.1 回答者： ありものがたり 回答日時： 2020/08/14 20:34

あなたの解法では、2C1 通りで選んだ当たりクジと 5C1 通りで選んだ外れクジを

Aさんと Bさんのどちらに割り当てるかを考えていません。

それを考えると、Aさんが当たって Bさんが外れるのは
クジの割り当て方が 2C1*5C1*1 通り、全ての割当て方が 7C2*2! 通りなので、
確率は (2C1*5C1*1)/(7C2*2!) になる。あなたの解の 1/2 です。
これを、Aさんが当たって Bさんが外れるぶんと、Bさんが当たって Aさんが外れるぶん
足すと、あなたの答えと同じになるわけです。