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当たりくじ4本を含む10本のくじがある。このくじを1本引き、はずれたときは
くじをもとに戻し、当たったときはもとに戻さない。このようにして、
1本ずつ2回続けてくじを引くとき、次の確率を求めよ。
(1)2本目が当たる確率

教科書からの問題です

a1,a2,a3,a4,b1,b2,b3,b4,b5,b6 として、
樹形図を作ったのですが、a1~a4の分岐は自身を含まない
(a1,a2)(a1,a3)(a1,a4)(a1,b1)……
b1~b6の分岐は自身を含む
(b1,a1)(b1,a2)(b1,a3)……(b1,b1)……
よって 4×9+6×10=96
全事象 n(U)=96だと考えたのです。
しかし答えは
[1]1本目が当たり、2本目も当たり
4/10×3/9=2/15
[2]1本目がはずれ、2本目が当たり
6/10×4/10=6/25
でした。これだと[1]はb1~b6自身をもう一回引く場合がはぶかれているように思え、
[2]はa1~a4自身を2回目に引く場合をはぶいていないように思えるのです。
そして、なぜこの問題は樹形図が通用しないのでしょうか。
同様に確からしくないからでしょうか…?

よろしくお願いします。

A 回答 (3件)

もっと簡単に考えれば・・・


2回引いたときの結果は、
A)1本目も2本目もはずれ
B)1本目ははずれて2本目はあたり
C)1本目は当たって、2本目ははずれ
D)1本目も2本目も当たり
の4通りしかありません。求めるのはBの確率とDの確率の合計です。

わかりやすく4通り全ての確率を計算すると
A)6/10×6/10=9/25
B)6/10×4/10=6/25
C)4/10×6/9=4/15
D)4/10×3/9=2/15
B+D)6/25+2/15=(18+10)/75=28/75
参考:
A+C)9/25+4/15=(27+20)/75=47/75(=1-28/75)

さてさて、樹形図で考えたのがまずかった理由ですが、全事象は確かに96通りなのですが、
この96通りの発生比率が均等ではないということです。
質問に書かれているように「同様に確からしくない」からです。

もっと簡単なケースを考えてみます。
当たりくじが1本、はずれくじが1本の計2本のくじで、はずれが出たら戻して当たりが出たら戻さない場合に、2本目が当たり確率は
樹形図にすると、当たりーはずれ、はずれーはずれ、はずれー当たりの3通りになります。
最初に当たりを引く確率は1/2で同様に最初にはずれを引く確率も1/2です。
当然、最初に当たりを引けば2本目に当たりを引くことはないので、この1/2は確実に2本目ははずれです。
一方で最初にはずれを引く確率は1/2で、二本目に当たりを引く確率は1/2です。
(この確率が全体で1/4になるのは、当たりはずれに関係なくくじを戻す場合と同じなのでわかると思います。)
したがって、求める確率は1/4で、二本目にはずれを引く確率は1本目で当たりを引く1/2と1本目にはずれを引いて、2本目もはずれを引いた場合の1/4を合わせて3/4となります。

したがって、この問題の解き方としては1本目が当たりである場合と、はずれである場合に分けて、計算するということです。
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この回答へのお礼

大変参考になりました。
詳しい回答ありがとうございました。

お礼日時:2019/03/06 20:49

あたり→あたりの場合、個々の場合の確率は 1/90


はずれ→あたりの場合、個々の場合の確率は 1/100

つまり、場合の個数だけでは確率は計算できません。

樹形図でやる場合は、個々のリーフの確率を
加味しないと計算できません。
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この回答へのお礼

回答ありがとうございました。

お礼日時:2019/03/06 20:47

>これだと[1]はb1~b6自身をもう一回引く場合がはぶかれているように思え、


>[2]はa1~a4自身を2回目に引く場合をはぶいていないように思えるのです。

錯覚です。そう思う根拠を書いてくれれば、そのどこが間違っているのか
指摘することもできますが、「思う」だけでは修正のしようがありません。
そういう「思う」とかで計算していると、数学は間違えます。感想文とは違うんです。

教科書や参考書で、めんどくさい説明をせずに済ますために、
「樹形図を書け」とか「樹形図を見ろ」とか連発するものがあるのですが、
困ったことです。樹形図で解決できるのは、全ての場合の数が相当少なくて
全部書き出してもミスが起こらない規模の問題だけです。つまり、
教科書の例題程度にしか適用できなくて、問題集の問題はそれでは解けません。
では、樹形図で解けない問題をどうするかというと、[1][2]のようにするのです。
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この回答へのお礼

回答ありがとうございました。

お礼日時:2019/03/06 20:46

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