![](http://oshiete.xgoo.jp/images/v2/pc/qa/question_title.png?8acaa2e)
よろしくお願いします。
当たる確率が p のくじで、当たったらくじを戻してまた引くという操作を続け、外れたらやめる、としたとき、
当たりの連続回数の期待値は、
1/(1-p) - 1 = p/(1-p)
になります。
これについて、過去のQ&Aを見つけました。
http://oshiete.goo.ne.jp/qa/1339851.html
No.4の回答は、最後に1を引くことを忘れているものの、私にはよく理解できます。
しかし、No.3とNo.5のシンプルな回答の意味がわかりません。
特に、No.5については、物理その他でよく出てくる
dN/dt = -λN
(λ: 1個1秒当たりの減少・壊変・故障などの確率)
という形の式から、平均寿命が 1/λ と求まることとも関係があるような気がしますが、これもわかりません。
どなたか解説をお願いいたします。
No.2ベストアンサー
- 回答日時:
考え方としては幾何分布の期待値を求めることになります。
連続してひじを引く回数の平均 xは
x = Σ[n=1→∞] n* p^(n-1)* q (ただしp+q=1)
で求められますが、まずこれの両辺にpをかけます。
px = Σ[n=1→∞] n* p^n* q
また、
Σ[n=0→∞] p^n* q = 1
なのでこれを加えると
px+1 = Σ[n=1→∞] n* p^n* q + Σ[n=0→∞] p^n* q
= Σ[n=1→∞] (n+1)* p^n* q + q
= Σ[n=2→∞] n* p^(n-1)* q + q
= Σ[n=1→∞] n* p^(n-1)* q
= x
となります。
ANo.4で求めている期待値は、回答の最初で確認しているとおり、当りの連続回数が0の場合を含めない場合です。
だから1を引くのを忘れていたわけではないと思います。
参考URL:http://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%B9%BE%E4%BD%95% …
この回答への補足
あらためまして3名様に感謝を申し上げます。
まだ直感的に飲み込めていないのですが、月末ですので締め切ることにいたしました。
申し訳ありませんが、ベストアンサーは乱数による抽選で決めさせていただきました。
ご了承ください。
No.3
- 回答日時:
「右辺の 1」は (最後の外れを引く 1回でもいいけどむしろ) 「最初の 1回」と思ってもらえるとありがたい>#1.
端的に言えば「1回引いてあたりなら最初に戻る」というだけなんだけど, ちとプログラム的な説明をば.
あっちの #3 では「はずれを引くまで連続して何回くじを引くか」ということで最後のはずれの分も数えてますが, 以下では「当選回数」だけを考えます (だから 1 だけ差ができることに注意).
「連続して何回あたりを引くかを数える」という操作は次のように書くことができます:
1. 「連続当選回数」を 0 にする
2. くじを引く
3. 外れたら終わり
4. 「連続当選回数」を 1 増やして 2 に戻る
これを, 次のように展開してみます:
1. 「連続当選回数」を 0 にする
2'. くじを引く
3'. 外れたら終わり
4'. 「連続当選回数」を 1 にする
2. くじを引く
3. 外れたら終わり
4. 「連続当選回数」を 1 増やして 2 に戻る
この 2つの操作は全く同じですから, 最終的に得られる「連続当選回数の期待値」も一致しなければなりません. で, この「連続当選回数の期待値」を x としてみます. すると, 前者における期待値は当然 x そのものです. 一方後者では
・3' で外れて終わる: 生起確率は 1-p でこのとき得られる期待値は 0
・3' で当たって 4' 以降に進む: 生起確率は p, 得られる期待値は (2~4 だけなら x 自身なんだけど 4' で 1 増えているので) 1+x
なので (1-p)・0 + p・(1+x) = p(1+x) と表すことができます.
既に書いたようにこの 2つの期待値は一致しなければならないので
x = p(1+x), つまり x = p/(1-p)
です.
「連続してくじを引く回数」だと後者のうち前半 (3' で外れて終わる) の期待値が 0 から 1 に変わって
x = (1-p)・1 + p・(1+x) = 1+px.
No.1
- 回答日時:
こんばんわ。
えらく昔の質問からですね。^^;
No.3さんの解答ですが、
xが引く回数の「平均」となっているので、期待値を考えていることになるかと。
x回引いたとき、当たりは px(= 0.8x)回含まれているはずだということから、
シンプルに計算していることになると思います。
(右辺の 1は最後のはずれを引く 1回のことだと)
No.5さんの解答は、確かに物理で出てくる「平均寿命」の考え方と同じですね。
確率変数:n、確率:p^(n-1)* pなので、これの期待値(無限回までの値)を計算します。
つまり、Σ[n=1→∞] n* p^(n-1)* pの計算で求めることができます。
あと、↓が端的に説明してくれていますね。
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%B9%B3%E5%9D%87% …
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