写真の式の赤枠についてですが、 h→0からk→0と書き換えられる理由は、 lim[h→0]のときのk

写真の式の赤枠についてですが、
h→0からk→0と書き換えられる理由は、
lim[h→0]のときのk=0はk→0と同値？(k=0とk→0は同じ意味)だからですか？

No.2 ベストアンサー 回答者： ありものがたり 回答日時： 2023/05/21 11:02

あなたがもし高校生であれば、そうやって「意味」で捉えるしかないのかもしれない。

高校の教科書では、lim の意味しか教えず、定義は示さないから。
定義されていないものについての基本的な定理は、証明しようがない。

「k=0とk→0は同じ意味」は間違っているが、
「(lim[h→0]のときのk)=0はk→0と同じ意味)」は
ここで使っている定理： lim[h→0] F(G(h)) = lim[k→G(0)] F(k) の
正しい解釈だと思う。(解釈であって、証明ではないけど。)

lim を意味でなく形式的に定義すれば、
この定理を証明することができるようになる。

No.3 回答者： mtrajcp 回答日時： 2023/05/21 20:26

h→0からk→0と書き換えられる理由は、

k=g(x+h)-g(x)
でg(x)は連続
だから

lim[h→0]のとき
k=g(x+h)-g(x)=0 ではなく
k=g(x+h)-g(x)　→　0

k→0はkは0に近づくのであってk=0とするのではありません

任意のε>0に対して
あるδ>0が存在して
|h|<δとなる任意のhに対して
|g(x+h)-g(x)|<ε
となるとき
lim_{h→0}g(x+h)=g(x)
と書き
g(x)はxで連続という

No.1 回答者： endlessriver 回答日時： 2023/05/21 01:59

g(x)が連続だから、そうなります。