arctanθのことでわからないことがあります。 tan^-1(∞)の値についてなんですが、 値域が

arctanθのことでわからないことがあります。

tan^-1(∞)の値についてなんですが、
値域が-π/2<x<π/2
定義域が-∞<y<∞なのに
tan^-1(∞)=π/2なのはどうしてですか？値域に入ってなくないですか？

教えていただきたいです

No.3 ベストアンサー 回答者： ありものがたり 回答日時： 2023/06/01 01:10

「値域」とは何だったか、思い出してみましょう。

∞ が定義域に入ってないので、
tan^-1(∞) は値域に入ってないのです。

この回答へのお礼

理解しました

お礼日時：2023/06/01 02:21

No.5 回答者： tknakamuri 回答日時： 2023/06/02 10:48

2次元のデカルト座標系で (x, y) = (0, 正) の偏角を求めるとき

arctan(y/x) で y/x = ∞ では π/2 っていい加減に説明しちゃう
ことが多いからかな。

でも本当は x = 0, y > 0 の場合は 偏角=π/2

数学的には厳密性に欠ける(間違ってる)。

No.4 回答者： kmee 回答日時： 2023/06/01 10:40

lim(x→∞) arctan(x) = π/2

の意味で書いたのかもしれません。
arctan(∞) が定義域外なのを知らないのか、知っているけどわざとなのか、わかりませんが。


XY座標→極座標変換の際に、θ = arctan(y/x) で求められます。

正確には
　x>0 のとき θ = arctan(y/x)
　x<0 のとき θ = arctan(y/x) + π
です。

x=0のときは y/x が求められませんが、
　x=0かつy>0のとき θ=π/2
　x=0かつy<0のとき θ=-π/2
になります。

これを
　x=0かつy>0のとき y/x=∞ であるから θ= arctan(y/x)= arctan(∞)=π/2
　x=0かつy<0のとき y/x=-∞ であるから θ= arctan(y/x)= arctan(-∞)=-π/2
として
　x≧0 のとき θ = arctan(y/x)
　x<0 のとき θ = arctan(y/x) + π
と場合分けを減らしたかったのかもしれません。
y/0=∞.-∞ も知っててわざとなのか知らずになのかわかりませんが。

No.2 回答者： yhr2 回答日時： 2023/06/01 00:33

「∞」は範囲に入らないからです。

「tan^-1(∞)」というものは存在しません。
tan(π/2) は定義できないからです。

No.1 回答者： mabuterol 回答日時： 2023/06/01 00:32

あなたの疑問はもっともで変な命題だと思います。