(3)がわかりません。 (1)は固有値λ=±1 固有ベクトルは λ=1のとき (-i,1) λ=-1

(3)がわかりません。

(1)は固有値λ=±1
固有ベクトルは
λ=1のとき
(-i,1)
λ=-1のとき
(i,1)

となりました。

(2)は
定義式のMにP^-1MPを代入して
各項にあるP^-1とPはk乗が外れるので
P^-1(expM)P

(3)はe^Aの固有値とはどうやって求めるのでしょうか？

よろしくお願いします。

No.1 ベストアンサー 回答者： stomachman 回答日時： 2023/06/11 17:27

固有値を対角成分として並べた対角行列Λと、対応する固有ベクトル（縦ベクトル）をヨコに並べてできる行列Xを使うと、

　　A X = X Λ
となる。（まずはこれを確認なされよ。）
　だから、Xの逆行列をX*とすると
　　A = X Λ X*
であり、もちろん
　　X* X = I (単位行列）
なので
　　A^k = X (Λ^k) X*
ってこと。このとき、(Λ^k)も対角行列で、しかもそのj番目の成分が(λj)^kになる、ってことは明らかですね。
　これを得るために、わざわざ固有値の計算をしたんですよ。

　さらに
　　Σ (A^k)/k! = X (Σ (Λ^k)/k!) X*
の Σ (Λ^k)/k!)も対角行列であり、そのj番目の成分は
　　Σ ((λj)^k)/k! = exp(λj)

この回答へのお礼

返信が遅れてしまい申し訳ございません。
丁寧に解説していただきありがとうございます。

理解できました。

お礼日時：2023/06/12 23:09

No.2 回答者： ありものがたり 回答日時： 2023/06/12 02:33

Ax = λx なら

(exp A)x = ( Σ[k=0→∞] (1/k！)A^k )x
　　　　= Σ[k=0→∞] (1/k！)( (A^k)x )
　　　　= Σ[k=0→∞] (1/k！)( (λ^k)x )
　　　　= ( Σ[k=0→∞] (1/k！)(λ^k) )x
　　　　= (e^λ)x
でしょう？

この回答へのお礼

返信が遅れてしまい申し訳ございません。
理解できました！ありがとうございました！

お礼日時：2023/06/12 23:08