写真の問題の赤線部についてですが、 0<a≦1のとき(x-a)(x-1)≧0になるのは-1≦x≦aの

写真の問題の赤線部についてですが、
0<a≦1のとき(x-a)(x-1)≧0になるのは-1≦x≦aの他に、x=1のときも(x-a)(x-1)=0となると思うのですが、なぜ回答にはxの範囲として-1≦x≦aと追加でx=1が含まれないのですか？(確かに、-1≦x≦a x=1,a≦x<≦1と場合分けすると不自然になりますが、実際はx=1も与式≧0を満たすことから、-1≦x≦aの他にx=1も追加するべきでは？と思いました)

写真:https://d.kuku.lu/uxx7xwwbx

No.2 回答者： mtrajcp 回答日時： 2023/08/12 21:48

x=1の場合は

(a≦x≦1)
に含まれている

-1≦x≦a の場合は(x-a)(x-1)≧0だから|(x-a)(x-1)|=(x-a)(x-1)
a≦x≦1 の場合は(x-a)(x-1)≦0だから|(x-a)(x-1)|=-(x-a)(x-1)

だから

∫_{-1～1}|(x-a)(x-1)|dx
=
∫_{-1～a}(x-a)(x-1)dx
+∫_{a～1}{-(x-a)(x-1)}dx

と
積分区間
[-1,1]
を
[-1,a]と[a,1]
に分割できるのです

x=1のとき
-1≦x≦aにいれてしまったら積分区間が分割できない

積分区間を分割するために場合わけしているのであって
場合わけのために分割しているわけではありません

(x-a)(x-1)=0
の場合は
(x-a)(x-1)≧0
と
(x-a)(x-1)≦0
のどちらにいれてもよいから
x=1の場合は
(a≦x≦1)
にいれているのです

No.1 回答者： kairou 回答日時： 2023/08/12 21:08

問題の条件が 「0<a≦1」ですから、

「-1≦x≦a」で x=1 が 含まれます。