画像の問題(2)を教えて頂きたいです

画像のような問題で
(2)<<主張2>>は正しいか。が分かりません。
　　F(a,b,c,d)=0ならばa=b=c=dであることをどのように示せば良いのか教えて頂きたいです。

No.7 ベストアンサー 回答者： syotao 回答日時： 2023/08/25 15:16

f(a,b,c,d)=0 ならばその定義式の第一項の２乗＝第２項の２乗

だからそれぞれ展開して整理すれば
ab+cd+2√(abcd)=ac+bd+da+bc
ここでb＝cならば
ab+cd＝ac+bd　だから
2√(abcd)＝da+bc
これはdaとbcの相加平均が相乗平均に等しいということだから
da＝bc、だけどもb＝cだからda≒b²＝c²
です。

No.6 回答者： stomachman 回答日時： 2023/08/25 12:58

No.2へのコメントについて

> この反例はどのようにして見つけられたのか教えて

そんなことをしたら、丸投げでコタエ丸写し、規約違反です。

No.5 回答者： syotao 回答日時： 2023/08/24 17:28

No.2さんの例をヒントにすれば

ｂ＝c　かつ　ad＝b²＝c²　ならなんでもよい。
(abcd)＝(1339)、(2448)　とか......。

この回答へのお礼

ありがとうございます。
どのようにして条件ad＝b²＝c²にたどり着くのか教えて頂けませんか。

お礼日時：2023/08/25 09:04

No.4 回答者： へのへのもへへ 回答日時： 2023/08/24 16:19

ごめんなさい、コロナの疾患中で計算ミス多すぎやな！僕のコメントは信用しないで！

この回答へのお礼

体調良くない中，ご回答ありがとうございます。

お礼日時：2023/08/25 09:07

No.3 回答者： へのへのもへへ 回答日時： 2023/08/24 16:18

確かに。

ab=cdから、a/c=b/dを満たせば、等号が成立するかも。
f(1,3,3,9)とか。

No.2 回答者： stomachman 回答日時： 2023/08/24 15:13

> F(a,b,c,d)=0ならばa=b=c=dであること

F(1,2,2,4)は？

この回答へのお礼

ご回答ありがとうございます。
a=1, b=2, c=2, d=4
この反例はどのようにして見つけられたのか教えて頂きたいです。

お礼日時：2023/08/25 09:08

No.1 回答者： へのへのもへへ 回答日時： 2023/08/24 15:01

取り急ぎ。

もう、ab=cd
が成立していないと、主張1,2双方が成立しないことはお気づきだと思います。
更に、証明の過程で、恐らくaとb、cとd各々の相加平均と相乗平均の関係を利用しているでしょうから、等号の成立条件は自ずとa=b,c=dの場合だとわかるはずです。これで必要条件の証明になります。あとは、a=b=c=dをfの定義に代入してゼロになることを計算できたら、十分条件の証明になります。

にしても、主張2の関数Fってどこから出てきたのですかね(笑)明らかな誤字。。