二変数関数の最大値と最小値について

0<=s<=1,0<=t<=1,s+t<=1とするとき、f(s,t)=17/4 - 3 s + 3 s^2 + (16 s t)/3 + (8 t^2)/3 - 4tの最大値と最小値を求めよ。

s=(1/3-8t/9),t=3/4のとき最小値を取る。sとtのどっちも次数2の符号が正なので、下に凸のグラフ

t=0のとき(8 t^2)/3 - 4 tは最大
s=1のとき17/4 - 3 s + 3 s^2 + (16 s t)/3は最大

t=3/4のとき(8 t^2)/3 - 4 tは最小
s=-1/3のとき17/4 - 3 s + 3 s^2 + (16 s t)/3は最小、ところがs>=0かつ下に凸なのでs=0のとき最小

よってf(s,t)は(s,t)=(1,0)のとき最大、(0,3/4)のとき最小

この解き方は間違っていますか？大学数学では厳密に求める方法はありますか？教えてください。

質問者からの補足コメント

• ごめんなさい。(1)だけでした。(2)~(4)は書いてました。

  No.2の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2023/09/04 20:17

No.2 ベストアンサー 回答者： stomachman 回答日時： 2023/09/04 19:50

O=(0,0), A=(1,0), B=(0,1)を頂点とする三角形OABが(s,t)の範囲。

なので、最大値（最小値）がどこにあるかというと、
(1) 三角形OABの内点がf(s,t)の極大(極小)
(2) 辺OA上に最大(最小)がある
(3) 辺OB上に最大(最小)がある
(4) 辺AB上に最大(最小)がある
のどれかだということです。

だから(1)は
　　∂f/∂s = 0
　　∂f/∂t = 0
を両方満たす所(s,t)（すなわち連立方程式
　　 - 3 + 6s + (16 t)/3 = 0
　　 (16 s)/3 + (16 t)/3 - 4 = 0
の解）であって、かつ、(s,t)が三角形OABの内点であり、かつ、f(s,t)が極大（極小）である、という条件を満たす (s,t)を探す問題。この問題に解があれば、それがコタエ。

　一方、もし(1)に解がないのなら、
(2) 1変数関数 f(s,0) (0≦s≦1)の最大値(最小値)を求める問題。
(3) 1変数関数 f(0,t) (0≦t≦1)の最大値(最小値)を求める問題。
(4) 1変数関数 f(s,1-s) (0≦s≦1)の最大値(最小値)を求める問題。
をやって、一番大きい（小さい）のがコタエ。

この回答へのお礼

ありがとうございます。助かりました。

解法はわかったのですが

(1)~(4)で良い理由を物凄く簡略化して教えていただけますか？

(2),(3)は二次関数の端側に似てる気がするので、少しは分かります。

お礼日時：2023/09/04 20:16

No.1 回答者： endlessriver 回答日時： 2023/09/04 19:36

あなたの方法は支離滅裂でわからない。

一般的には f(s,t)の停留点を求めます。その値は
0<s,t<1 かつ s+t<1の領域にないので、最大最小は領域の
境界 s=0(0≦t≦1), t=0(0≦t≦1), s+t=1(0≦s,t≦1)
にあるから
f(s,0), f(0,t), f(s,1-s)の最大最小を求める。

そして、これらの求めた候補から、最大最小を選べばよい。