二次関数の平行移動の引き算について質問です。 写真のような問題で平行移動前と平行移動後のの引き算する

二次関数の平行移動の引き算について質問です。

写真のような問題で平行移動前と平行移動後のの引き算する時どっちからどっちを引き算したらいいのか混乱してしまいます。

こういった平行移動前と移動後の差を求める時のコツはありますでしょうか？

回答よろしくお願いします。

No.8 回答者： tknakamuri 回答日時： 2023/10/13 16:02

解き方は2っあります。

ひとつは頂点の位置の差を求める方法。
2次式のグラフの頂点の求め方は分かるよね。

もうひとつは
y=f(x)を(a、b)だけ平行移動すると
y=f(x-a)+b
となるのを使う。
f(x)=2x^2-4x+1
f(x-a)+b=2x^2 -(4+4a)x+2a^2+4a+1+b
これと
2x^2+6x+7
を係数比較すればaとbが求まります。

a=-2.5
b=3.5

こっちは2次式に限らない解き方なので
応用が広い。

No.7 回答者： mtrajcp 回答日時： 2023/10/13 10:42

指針に書いてある通り

頂点の移動に注目して考える

No.6 回答者： finalbento 回答日時： 2023/10/12 13:18

「平行移動前と平行移動後の引き算」なる文言が数学的な意味でも国語的な意味でも支離滅裂で(忖度に忖度を重ねたりしない限り)何が言いたいのか全く伝わりません。

そもそも「どっちからどっちを引き算するのか」と言った、やり方を覚えて何とかしようと言う発想が根本的に間違っています。まずは教わった内容を筋道立てて理解する事。そうすれば基本的にやり方はほぼ自動的に出て来ます。質問文を見る限り、率直に言って「全く何も理解していない」と言うのがまるわかりです。

No.5 回答者： ありものがたり 回答日時： 2023/10/11 22:48

引くとか足すとか暗記しようとしないで、

素朴に並行移動をしてみましょう。

②上の点 (u,v) を x軸方向に +a、 y軸方向に +b だけ平行移動
した点を (x,y) とすると、 u + a = x, v + b = y です。
u, v の間には v = 2u^2 - 4u + 1 の関係があるので、
並行移動後の点 (x,y) が描く図形は
これらの式から u, v を消去した (y-b) = 2(x-a)^2 - 4(x-a) + 1 です。　…③
③が①と一致する条件は、
③を展開整理した y = 2x^2 - (4a+4)x + (2a^2+4a+1+b) を
① y = 2x^2 + 6x + 7 と係数比較して
-(4a+4) = 6, 2a^2+4a+1+b = 7 より a = -5/2, b = 7/2.

No.4 回答者： sc348253 回答日時： 2023/10/11 20:19

微分で解けば

y=x^2 -4x +1=f(x) とおけば
f ' (x)=4x -4=4(x-1) となり
この2次関数は下向きの関数なので f ' (x)=0 から　x=1
増減表を書いたら
1以下で　単調減少
x=1 で　極小値
1以上で　単調増加
なので　また　f(1)=2・1^2 -4・1　+1=2-4+1= -1 から
頂点の座標は　(1, -1) となる
また
y=2x^2 +6x +7 =g(x) において
g '(x)=4x+6 となり　g '(x)=０　となるのは　4x+6=0 から　x= -3/2
その時の y座標は　g( -3/2 )=2(-3/2)^2 +6(-3/2)+7= 9/2 -2=5/2
なので　この2次関数の頂点の座標は　(-3/2 , 5/2 ) だから
x軸; 1→-3/2　なので　 左に　3/2+1=5/2
y軸; -1→5/2 　なので　上に　5/2+1=7/2 移動したもの！
No.1が言われたように平方完成も不要でした。おもいもつかない発想でした！以上　平方完成　座標変換　微分　と3通りで解いてみました！

No.3 回答者： sc348253 回答日時： 2023/10/11 19:45

2x^2 -4x +1=2(x^2 -2x) +1=2(x^2 -2x +1-1) +1=2{(x-1)^2 -1}+1

=2(x-1)^2 -1
ここで　座標変換で考えてみましょう！つまり
y=2x^2 -4x +1=2(x-1)^2 -1　だからy+1=2(x-1)^2
ここで
X=x-1
Y=y+1
とおれば　Y=2 X^2 となりますから
y=2x^2 +6x +7 に　X , Y を代入すれば
y+1-8=2(X+1)^2 +6(X+1)
Y=2X^2 +4X +2 +6X +6 +8
Y=2X^2 +10X +16=2(X^2 +5X +8)=2{(X+5/2)^2 -25/4 +8}
=2(X+5/2)^2 +7/2 となるので
x軸; -５/２移動　　なので　左に　5/2
y軸; ７/２移動　 なので　上に　7/2 移動したものです！→ここを訂正します！！

No.2 回答者： sc348253 回答日時： 2023/10/11 19:20

2x^2 -4x +1=2(x^2 -2x) +1=2(x^2 -2x +1-1) +1=2{(x-1)^2 -1}+1

=2(x-1)^2 -1 よって
2(x+a)^2 +b=2x^2 +6x +7
2x^2 +4ax +2a^2 +b =2x^2 +6x +7
故に
4a=6 ∴a=3/2
2a^2 +b=7 ∴b=7-2a^2=7-2(9/4)=7-9/2=5/2
従って　2x^2 +6x +7=2(x+3/2)^2 +5/2 より
x軸; 1→-3/2　なので　左に　3/2+1=5/2
y軸; -1→5/2 　なので　右に　5/2+1=7/2 移動したもの！

こういった平行移動前と移動後の差を求める時のコツはありますでしょうか？
　引いても2つの関数の交点を求める意味しかなく問題の回答のアプローチ
に繋がりませんが？

No.1 回答者： siromaria 回答日時： 2023/10/11 19:17

そもそも数学はコツではなくて全て理詰めで説明できる学問です

なので平行移動がわからないのは、根本的に二次関数を理屈で理解できていないということと同義です

全ての二次関数は一律に
y=a(x-p)^2+q
の形で表すことができますね
即ち、軸がp、頂点がqですね
なので全ての二次関数を一旦平方完成するしかありません
まあ高2以上では微分を習う為に平方完成すら要らないのですがここでは置いておきましょう
平方完成させたら、軸と頂点を確認します
そして絶対値で考えます
ここでy軸を超える場合には、またはx軸を超える場合にはマイナスを付け、超えない場合にはプラスで考えます
要はプラスマイナスで考えるから道に迷うのであって、絶対値で考えます