統計について テキストに解法がないため質問いたします。 統計の以下の問題の解き方（途中式）を教えてく

統計について

テキストに解法がないため質問いたします。
統計の以下の問題の解き方（途中式）を教えてください。

ある海外旅行保険加入者の中から800人を調査した結果、31人が過去5年間に少なくとも1回の保険金を請求していた。この時、99%の信頼区間で、信頼区間の幅が0.02以下になるようにするには、何人に対して調査しなければならないか。
また、事前調査を行わない場合はどうか。

答えは事前調査した場合が2474人、しなかった場合が16577人になります。

0.02 ≦ 2.576×（√31/800×（1-（31/800））/n）
と式を立てたのですがn≧〇〇の形に持っていくことができず手が止まってしまいました。
よろしくお願いします

No.3 ベストアンサー 回答者： kamiyasiro 回答日時： 2023/11/28 14:16

事前調査を行わないので、ｐの見込みが不明の時、一番誤差が大きくなるのはｐ＝1/2のときだから、No.1の式の31/800の部分を1/2に置き換えて計算するのでしょう。

√n ＞ 2.576×SQRT(0.5×(1/2-(1/2))) / 0.01

左辺を２乗すると、16589になります。
微妙に違うのは、丸めの誤差でしょうかね。

しかし、この計算結果に違和感があるのは私だけかなあ。調査数が大きすぎるんですよね。

普通、僅かしか生起しない小さな値を保証する方が、調査数が必要なんですよ。
1/2の確率で発生しているなら、数百個も調べれば確実に観測でき、±数百分の一の精度で発生率が計算できますよね。
でも、1/100の確率で発生している時は、数百個調べても見つからないことがあるんです。

それが、
31/800＝0.039の発生確率の事象を調べるのに約2500個、
0.5の発生確率の事象を調べるのに約16600個なんて。
こんなのおかしいです。

ただ、○○だから間違っています、ってことが言えないです。
どなたか補足をお願いします。

この回答へのお礼

ご回答ありがとうございます。
使用しているテキストは説明がわかっている人向けというか、初学者にはかなり使いづらいもので助かりました。
ご教示いただいた式にて自分で計算しても誤差が発生しましたが、テキストにも粗があるものだと納得することにしました。
ありがとうございました。

お礼日時：2023/11/29 19:17

No.4 回答者： qas2021 回答日時： 2023/11/28 20:33

質問への回答は既にあるので、No.3さんの調査数 n への違和感について触れると、No.3さんは比率に対する相対値で信頼区間を考えてしまっているからでしょう。

母比率を p、調査数を n とします。
標本比率の標準誤差 √(p(1 - p)/n) を p で割ると
√((1/p - 1)/n)
となります。
この比を一定に保つには、pが小さいほど n を大きくする必要があります。
一方、
√(p(1 - p)/n)
を一定に保つには、p = 1/2 で n を最も大きくし、p が1/2から離れるにつれて、n は小さくする必要があります。

この回答へのお礼

補足解答ありがとうございます。
大変参考になりました。

お礼日時：2023/11/29 19:19

No.2 回答者： stomachman 回答日時： 2023/11/28 13:55

No.1が「事前調査したら800人中k人だった場合に、条件を満たすには標本数を幾らにすりゃいいか」を教えてくれたので、事前調査しなかったらどうか、というのも簡単。

なぜなら、「最悪の場合であっても条件を満たす」ように標本数を決めなきゃならんということであり、そして「最悪の場合」とは「事前調査したら800人中400人だった場合」に他ならないから。
　ところが、計算してみると16590人になる。なぜかって、どうやら"2.576"じゃ精度が不足らしい。

この回答へのお礼

補足解答ありがとうございます。
自分で計算した結果でも模範解答に対して誤差が発生しましたが、z値の精度の問題だったのですね。
テキストの粗ということで納得したいと思います。
大変参考になりました。

お礼日時：2023/11/29 19:20

No.1 回答者： kamiyasiro 回答日時： 2023/11/28 11:06

√n ＞ 2.576×SQRT(31/800×(1-(31/800))) / 0.01

・不等号の向きが違います。
・両側で0.02だから、片側では0.01ですよね。

左辺を2乗すれば2472になります。

事前調査なしの場合は、検討中です。