空間ベクトルの質問です。 座標空間における2点 A(1,3,2), B(3,2,3)を通る直線lを考

空間ベクトルの質問です。

座標空間における2点 A(1,3,2), B(3,2,3)を通る直線lを考える.

(1) 直線lとCzech 平面の交点Pの座標を求めよ。

(2) l上の点Qにおいて，原点 〇とQを結ぶ直線が直線l と垂直に交わるとき，点Qの座標を求めよ。

よろしくお願いします！

質問者からの補足コメント

• Czech平面はxz 平面の間違いです！

    補足日時：2023/12/04 19:46

No.5 回答者： mtrajcp 回答日時： 2023/12/09 21:03

2点

A=(1,3,2)
B=(3,2,3)
を通る直線の方向ベクトルは
B(3,2,3)-A(1,3,2)
=(3-1,2-3,3-2)
=(2,-1,1)

No.4 回答者： tknakamuri 回答日時： 2023/12/05 09:00

直線の方程式は r = (x, y, z) とすると

r = ↑A + t(↑B-↑A) (↑A, ↑B は点A, B の位置ベクトル, tは媒介変数)
= (1, 3, 2) + t((3, 2, 3) - (1, 3, 2))
= (1, 3, 2) + t(2, -1, 1)

(1) XZ平面では y = 0 なので r の y 成分が 0 の方程式を作ると
0 = 3 - t → t = 3
r = (1, 3, 2) + 3(2, -1, 1) = (7, 0, 5)

(2)
直線の方向ベクトルは(2, -1, 1) だから
内積で垂直を表す方程式を作ると
(2, -1, 1)・↑OQ = 0
↑OQ=↑Q = r として
(2, -1, 1)・r = 0
(2, -1, 1)・{(1, 3, 2) + t(2, -1, 1)} = 0
1 + 6t = 0
t = -1/6
r = (1, 3, 2) + (-1/6)(2, -1, 1) = (2/3, 19/6, 11/6)

No.3 回答者： masterkoto 回答日時： 2023/12/04 20:17

ありもの　さんのツッコミ面白すぎる

No.2 回答者： ありものがたり 回答日時： 2023/12/04 19:59

＞ Czech平面はxz 平面の間違いです！

(1)
点A,Bを通る直線は、(→OA)+t(→AB) とパラメータ表示される。
直線上の点は (x,y,z) = (1,3,2) + t(3-1,2-3,3-2) と表される。
xz平面は y = 0 で表されるから、この直線と平面の交点は
y = 3+t(-1) = 0 すなわち t = 3 のとき。
このとき、直線上の点は (1,3,2) + 3(3-1,2-3,3-2) = (7,0,5).

(2)
点Qは直線L上にあるから、(x,y,z) = (1,3,2) + t(3-1,2-3,3-2) で表される。
→OQとLが直交すればよいのだから、→OQと→ABが垂直になるように
0 = →OQ・→AB = (1+2t,3-t,2+t)・(2,-1,1) = 6t+1. すなわち t = -1/6.
このとき、直線上の点は (1,3,2) + (-1/6)(3-1,2-3,3-2) = (2/3,19/6,11/6).

No.1 回答者： ありものがたり 回答日時： 2023/12/04 19:43

Czech平面ってなんじゃい？

チェコで平たいとこっていうと、ボヘミア高原か？