1/tanxの積分について

1/tanx=cosx/sinxと変形して解くとloglsinxl+Cを得ることができますが、
この積分をt=tan(x/2)と置換して解くと答えがlogltan(x/2)/(1+tan^2(x/2))l+Cとなり、
これを変形するとloglsinx/2l+Cとなり答えが一致しません。
置換した場合の正しい解法をご存知の方がいらっしゃれば教えていただきたいと思います。
どうぞよろしくお願いいたします。

No.2 回答者： ありものがたり 回答日時： 2023/12/09 18:15

積分定数の置き方を変えると同じ不定積分が違った式に見える

...というのは、微積分あるあるです。

log｜(sin x)/2｜ + C₁ = log( ｜(sin x)｜/｜2｜ ) + C₁
　　　　　　　　　= log｜(sin x)｜ - log｜2｜ + C₁
　　　　　　　　　= log｜(sin x)｜ + (- log2 + C₁).
C₂ = - log2 + C₁ と置けば、
log｜(sin x)/2｜ + C₁ = log｜(sin x)｜ + C₂ ですね。

この回答へのお礼

微積分あるあるだったんですね。
これも今後につながる貴重な考え方を教えていただきました。
本当に感謝申し上げます！

お礼日時：2023/12/09 20:37

No.1 回答者： endlessriver 回答日時： 2023/12/09 17:52

これを変形するとloglsinx/2l+Cと・・・なりません。

log ltan(x/2)/(1+tan^2(x/2))|=log ltan(x/2)cos²(x/2)|
=log |sin(x/2)cos(x/2)|=log |(sinx)/2|
=log|sinx|-log2

-log2 はCに含まれる。

この回答へのお礼

ご回答ありがとうございます。
なるほど、-log2はCに含まれると考えるのですね。
ありがとうございました！

お礼日時：2023/12/09 18:02