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∫log sinx dxや∫log cosx dxの計算をやっているのですが、置換積分や部分積分をフル活用しているのですが、先が見えません。助けて下さい。

A 回答 (2件)

こんにちは。

不定積分ではなく定積分でお答え
します。広義積分を習っていることを仮定しますが…
でも、
∫_{x=0~π/2}log (sinx) dx
についてだけです。
まず、上の積分が収束するかという問題があります。
(実際には、絶対収束します。)
この収束を示すことが必要なら補足しますので、
ここでは省きます。
(ヒントは(√x)log(sinx)に対してロピタルの定理を使い、x→+0とします。)

以上のことを頭の隅において積分を計算します。そこで、
I=∫_{x=0~π/2}log (sinx) dx
とおきます。ここで、xをπーxに、又はπ/2-x
と変数変換すると
I=∫_{x=π/2~π}log (sinx) dx
I=∫_{x=0~π/2}log (cosx) dx
となります。これらは、右辺の広義積分が収束して
値がIに等しいことを意味します。一方、
2I=∫_{x=0~π}log (sinx) dx
であり、x=2tとおくと
I=∫_{x=0~π/2}log (sin2t) dt
 =∫_{x=0~π/2}log (2 sint cost) dt
 =∫_{x=0~π/2}log 2 dt+∫_{x=0~π/2}log (sint) dt+∫_{x=0~π/2}log (cost) dt
=π/2*log 2+2I
∴ I=ーπ/2*log 2
となります。ご参考までに。
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この回答へのお礼

ありがとうございます。
本来の問題のとおりの範囲でした(0~π/2)。
部分か置換かのやり方がわかればできると思って不定積分で質問を出してしまいました。

丁寧な解説をありがとうございました。

お礼日時:2003/07/20 18:33

∫log(sin x) dx や ∫log(cos x) dx は初等関数の範囲内では


積分が表せないことが知られています.
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この回答へのお礼

回答ありがとうございます。
本来の問題ではご指摘のとおり不定積分ではなく、定積分でした。字足らずでした。

お礼日時:2003/07/20 18:30

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