フーリエ変換について

Φ(p)をフーリエ変換して∫[(~Φ)(p)e^(ipx)]d^3p/(2π)^3となるとき、
(∇^2-m^2)Φ(p)= -g∫[e^(ipx)]d^3p/(2π)^3
の両辺をフーリエ変換すると-p^2-m^2(~Φ)(p)=-gとなるようですが、
左辺がなぜそのように変形できるのかわからないため教えてください。

No.1 ベストアンサー 回答者： stomachman 回答日時： 2024/01/19 13:47

どうにもヘンテコな式が書いてありますけど、もしかして「3次元ベクトルpの関数Φ(p)のフーリエ変換が3次元ベクトルxの関数(〜Φ)(x)」ってことなんだろうなあ。

1行めの積分の式は（色々不思議なところはあるが）「(～Φ)を逆フーリエ変換する」という計算を表しているっぽい。
　2行めの積分はおそらく3次元デルタ関数のことで、2行めの右辺はそれに(-g)を掛け算したもの、すなわち -gδ(p) でしょう。デルタ関数のフーリエ変換は定数1ですから、-g δ(p) のフーリエ変換は -g 。これが3行めの式の右辺だと思われます。
　一方、∇² はのラプラシアンであり、ベクトルpを成分表示すると、∇² Φとは成分ごとにそれぞれΦの２階導関数を作ったものの総和です。Φがフーリエ変換(～Φ)が収束するような関数（超関数でもいいけど）なら、部分積分を使えば ∇²Φのフーリエ変換が-(x・x)(～Φ)になるのはすぐわかるでしょう。だから (∇² - m²)Φ(p) のフーリエ変換は (- |x|² - m²)(～Φ)(x) であり、3行めの式の左辺とは異なります。