写真の命題を数学的帰納法で証明しようと思うのですが、 n＝1の場合は明らかに成り立つと考えても大丈夫

写真の命題を数学的帰納法で証明しようと思うのですが、
n＝1の場合は明らかに成り立つと考えても大丈夫ですか？

質問者からの補足コメント

• n＝1で示す場合には、どのように示せば良いのでしょうか。
  この場合は論理積がないため、主張が成り立つかどうか判断出来ないです。

    補足日時：2024/02/23 02:59

• mtrajcpさん
  
  解答ありがとうございます。
  
  私も最初、「n＝1のとき、得られる論理式はA₁であり、これはどこの論理積を先に作用させてもいずれも論理的に同値である」
  と無理やり解釈したいと考えていました。
  しかし、「どこの論理積を先に作用させても」と表現したのですが、論理積がないので、このような考えをしても良いのか迷っています。
  このような考えをしても大丈夫ということでしょうか。

    補足日時：2024/02/23 04:51

• stomachmanさん
  
  回答ありがとうございます。
  字数制限があるため、分けて説明致します。
  
  (1)「相対的な順番を変えない」の意味について説明します。
  例えば、交換律では、A ⇔ Bが成り立つとき、B ⇔ Aも成り立ちます。このように、論理式の位置が入れ替わったりする状況を、相対的な順序が変わっていると表現しています。そのため、「相対的な順番を変えない」とは、A₁からAₙまでの論理式の順番が入れ替わることがないということです。

    補足日時：2024/02/23 13:50

• (2)「論理積を作用させる順番」の意味について説明します。
  結合律では、A ∧ (B ∧ C) ⇔ (A ∧ B) ∧ Cが成り立ちます。これは、BとCを先に論理積を作用させても、AとBを先に論理積を作用させても、同値関係であるということを表現しています。先ほどの「相対的な順番を変えない」と組み合わせると、A,B,Cの順番を変えない状況で、AとBを先に論理積を作用させても、BとCを先に論理積を作用させても同値であると考えることができます。

    補足日時：2024/02/23 13:51

• (3)「最終的に得られる論理式」の意味について説明します。
  先ほどの話により、AとBを先に作用させた論理式やBとCを先に作用させた論理式など、さまざまな順序の論理式が得られる可能性があります。それらがいずれも同値関係であると問題は主張しています。
  つまり、「最終的に得られる論理式」とは、論理積の作用の順番が異なる任意の論理式となります。

    補足日時：2024/02/23 13:51

• (4)「論理的に同値」の意味について説明します。
  「論理的に同値」とは、同等A ↔ Bが恒真式であると定義されます。同等は、AとBの真理値が共に同じ値であるときのみ真となる論理演算子と定義されています。恒真式とは、常に真をとる論理式のことです。
  つまり、同等A ↔ Bが常に真をとる論理式のとき、AとBは論理的に同値であると表現されます。

    補足日時：2024/02/23 13:52

• (5)論理式の定義に関しては以下のようになります。
  ①命題変数は論理式である。
  ②命題定数は論理式である。
  ③Aが論理式のとき、(￢A)は論理式である。
  ④A,Bが論理式のとき、(A ∧ B)、(A ∨ B)、
  (A ⊻ B)、(A → B)、(A ↔ B)はいずれも論理式である。

    補足日時：2024/02/23 13:53

• (1)から(5)の解釈のもとでn＝1の場合を考えると、(1)、(2)、(3)は問題がないと思います。しかし、(2)が怪しいです。論理式の定義では、AとBが論理式のとき、
  (A ∧ B)も論理式であると定義されています。つまり、この定義では、論理積を作用させるには最低限AとBの二つの論理式が必要ということになります。n＝1のとき、A₁となり、一つの論理式しかないため、論理積の作用の順番を考えることができません。

    補足日時：2024/02/23 13:53

• 今、この補足を書いているときに思いついたことがあります。
  べき等律により、(A ∧ A) ⇔ Aという規則が成り立ちます。そのため、n＝1のとき、それはA₁ですが、同値変形をすることにより、(A₁ ∧ A₁)と表すことができると思いました。このようにして表すことができれば、(2)も成り立つと考えました。
  
  この考えについてどう思うかコメントいただきたいです。

    補足日時：2024/02/23 13:54

No.5 回答者： stomachman 回答日時： 2024/02/23 23:54

No.4へのコメントについて。

　「第二に」の方に関して、うわごとを口走った当人を捕まえるのに成功なさったようで。その「本人」さんは、追加説明しなきゃならんようなヘロヘロは一旦取り下げて、キチット意味が定まる命題を書き直すのがスジってものです。
　ところでその追加説明が

> P：「相対的な順番を変えないまま論理積をとる。」
> 主張はP → Qと定式化することができ、Pが偽なので

いやいや、Pはどう見たって命題じゃないでしょう。なのに「Pが偽」だとどうして断定できちゃうんでしょうかね。説明になっとらんです。（錯乱の仕方がなんだか生成AIっぽいですね。）


　というのはさておき。
　論理積は2項演算として導入する。だからこの段階では、複数の論理積を含む式はカッコを使って書かなくちゃいけない。次に、結合則が成り立つことを証明する。これで初めて「（少なくとも真偽に関しては）カッコを省略してもマギレはない、ということが分かった。そして以下では真偽だけを議論する。だから、以下ではカッコは省略して書くことにします」と進むべきところでしょう。
　ところが、ご質問の話は、「カッコなしで論理積演算をいっぱい並べたもの」に無条件で真偽が決まると言い張って、その上で、結合則を示せと言っている。（結合則をキッチリ記述することすら、カッコなしではできんと思いますが。）
　つまり、話の順番がひっくり返っているんです。

この回答へのお礼

P：「相対的な順番を変えないまま論理積をとる。」

これはご指摘の通り、命題ではありません。
正しくは、次のようになります。

P：「n＝1の場合、すなわちA₁は、相対的な順番を変えないまま論理積をとる」

A₁だけでは論理積をとっていないため、Pは偽となります。そこで、

Q：「A₁は、論理積を作用させる順番とは関係なく最終的に得られる論理式はいずれも論理的に同値である。」

と定式化し、P → Qについて考えると、真になるため、n＝1の場合は、主張が成り立ちます。

今回のメインはn＝1で成り立つかどうかです。先ほどの補足は、それを厳密に明記していなかったため、誤解が生じてしまいました。

お礼日時：2024/02/24 00:37

No.4 回答者： stomachman 回答日時： 2024/02/23 11:39

ご質問の疑問は実にもっともで、的確な疑問だと思います。

　そして、この疑問に対して「文章の意図を忖度し、過不足を補って解釈してやれ」という回答が出るのも、また無理もないと思います。

　でもね、これは他ならぬ記号論理学の話です。甘っちょろい忖度なんかを期待するんであれば、そもそも論理など語るな！って事です。
　そうであれば、ご質問の画像に「命題」だと銘打って書いてある文章のような、ヘロヘロの自称「命題」を証明しろと求めるのは、一体どういうことなのか：

(a)「命題のように見えても、注意深く読むと、忖度で救ってやらねばならんようなヘロヘロの文章に過ぎないことがあるんだなあ」と気付かせることを意図した、なかなか高度な指導
　　　なのか、あるいは、単に
(b) 論理学を教えるのに足る見識を持たない者が出題している
　　　だけなのか。どっちだろうな。

てのはさておき、

　第一に、画像の文章はn>1の場合にしか意味をなさない。（これが、ご質問の疑問点ですよね。）「意味をなさない」とは、「n>1の場合にのみ真になる命題だ」というのではなくて、「n≦1の時には無意味であり、もちろん真でもなければ偽でもない」ということです。そして、真偽が定まらないものは命題ではない。
　画像の文章を「証明」したいのなら、（すでに出ている回答が示唆する通り）まずはこの文章をマトモな命題になるように修正しなくてはならない。けれども勝手に自由に手直して良いわけではなくて、その可否はもっぱら、文章を書いた人が「自分がこの文章に込めた意図は、直したことによっても変わっていない」と承認するかどうかに掛かっている。言い換えれば、こんなうわごとを口走ったやつを捕まえて「おかしいじゃないか、どういう積もりなんだっ！」と問い質すしかありません。

　第二に、「相対的な順番を変えないまま」だの「論理積を作用させる順番」だの「最終的に得られる論理式」だの「論理的に同値」だのの意味が不明確なので、この文章は（単独では）命題として成立していません。
　論理積を含む論理式をごく普通のやり方で、例えば

　　Fが論理式でPが因子のとき、F∧Pは論理式である

のように定義すると、そもそも「論理積を作用させる順番」を勝手に選ぶことなどできません。（括弧を付けるか因子の並びを変えることによってのみ、それは可能です。）では「論理積を作用させる順番」というのはどんな操作をする話をしているのか。そこがはっきりしないと、どういう命題を相手にして、何を前提にして証明をやるんだかが定まらない。
　ただしこちらのポイントは、もしかすると質問者氏の責任かもしれません。すなわち、この文章よりも前に書いてあるはずの、証明に必要な用語の定義を全部並べてみると、案外、この文章は（「ごく普通のやり方」以外の）特殊なスタイルで定義された（一風変わった）「論理式」に関する論理学、という文脈の上での話なのかもしれない。（…という可能性が理論上は考えられる。ですが、いや、そんなことを実際にやってるとは、ちょっと思えないけどなあ。）

この回答へのお礼

本人に聞いてみたところ、次のような回答が得られました。

P：「相対的な順番を変えないまま論理積をとる。」
Q：「論理積を作用させる順番とは関係なく最終的に得られる論理式はいずれも論理的に同値である。」
と置くと、主張はP → Qと定式化することができ、Pが偽なので、P → Qは真になるということ

お礼日時：2024/02/23 16:55

No.3 回答者： rinkun 回答日時： 2024/02/23 09:24

論理積や論理和の定義の与え方にもよると思いますが、結合律の話をするならn=3を最初とするのが分かりやすいでしょう。

n=3が結合律そのものです。
n=1,2は縮退した特殊ケースで、これらのケースでは論理積が0個,1個なので、そもそも作用させる順番というのが議論できません。

この回答へのお礼

すみません、回答を見逃していたため返信が遅れました。

今回、次のような流れで証明をしようと考えております。
①n＝1,2,3で主張が成り立つことを示す。
②3以上の任意の自然数kを選び、k以下の任意の自然数nで主張が成り立つと仮定した上で、k+1でも主張が成り立つことを示す。

この数学的帰納法は完全帰納法と呼ばれるものであり、k以下の全ての自然数を仮定しているため、
n＝1を示すことは必要不可欠です。

お礼日時：2024/02/23 21:21

No.2 回答者： mtrajcp 回答日時： 2024/02/23 04:15

選んだ論理式はA1

最終的に得られる論理式はA1
A1=A1
だから
A1とA1は
論理的に同値である

No.1 回答者： mimon01 回答日時： 2024/02/23 02:52

いいえ、自明ではなくn=1の時に成り立つことを示す必要があります。