これについて質問です。微分をしているのですが、なぜf(2x)以外に2が出てくるのでしょうか？どなたか

これについて質問です。微分をしているのですが、なぜf(2x)以外に2が出てくるのでしょうか？どなたか教えていただけると嬉しいです

No.9 回答者： stomachman 回答日時： 2024/03/15 13:39

左辺をxで微分すると

　　d(左辺)/dx
　　= lim{h→0} (∫{1〜2(x+h)} f(t) dt - ∫{1～2x} f(t) dt)/h
　　= lim{h→0} (1/h) ∫{2x～2(x+h)} f(t) dt
　　= lim{h→0} (1/h) f(2x) ∫{2x～2(x+h)} dt
　　= lim{h→0} (1/h) f(2x) (2(x+h) - 2x)
　　= lim{h→0} (1/h) f(2x) (2h)
　　= lim{h→0} 2f(2x)
　　= 2f(2x)

No.8 回答者： sc348253 回答日時： 2024/03/10 18:12

f(x)の原始関数をF(x)とすれば

∫　1→2x f(t)t=F(2x)-F(1)
よって　
条件式の両辺を微分すれば
F'(2x)*(2x)' - F'(1)=(e^x)' +(定数　a)'
∴f(2x) *2 =e^x
∴f(2x)=(e^x )/2
∴f(x)=(1/2)*e^ x/2

No.7 回答者： tknakamuri 回答日時： 2024/03/10 10:08

f(t)の積分をF(t)とすると

F(2x)-F(1)=e^x+a
両辺をxで微分すると、2x=uとすれば、合成関数の微分から
dF/dx=dF/du・du/dx=f(u)・d(2x)/dx=f(2x)・2 だから
2f(2x)=e^x

No.6 回答者： ありものがたり 回答日時： 2024/03/09 22:28

合成関数の微分法則は、ｄz/dx = (dz/dy)(dy/dx) です。

z = ∫[1,2x] f(t)dt,
y = 2x
の場合は、
(d/dx)∫[1,2x] f(t)dt = dz/dx = (dz/dy)(dy/dx)
= { (d/dy)∫[1,ｙ] f(t)dt }{ (d/dx)2x }
= { f(y) }{ 2 }
= f(2x)・2
となりますね。

質問の 2 は、(d/dx)2x = 2 の 2 です。

No.5 回答者： yhr2 回答日時： 2024/03/09 12:23

x が特別なものだと考えるので訳が分からなくなります。

「x」は単なる「任意の変数」ですから、それを
　y = 2x　　　　①
という「変数 y」に置き換えても同じです。

つまり、与式は

　∫[1→y]f(t)dt = e^(y/2) + a　　　　②

と書けます。

f(t) の原関数を F(t) と書けば
　与式の左辺 = ②式の左辺 = ∫[1→y]f(t)dt = F(y) - F(1) = F(2x) - F(1)
です。これを x で微分すれば、F(1) は y（つまり x）を含まない定数なので微分すれば 0 になり
　与式の左辺の x での微分 = dF(2x)/dx = dF(y)/dx = (dF(y)/dy)(dy/dx)
①より
　dy/dx = 2
なので
　与式の左辺の x での微分 = dF(2x)/dx = 2(dF(y)/dy)　　　　③

一方、与式の右辺の x での微分は、①を使って y で表わせば
　与式の右辺の x での微分 = e^x = e^(y/2)　　　④

③と④が等しいので
　2(dF(y)/dy) = e^(y/2)
→　dF(y)/dy = (1/2)e^(y/2)　　　　⑤

「f(t) の原関数を F(t) と書けば」ということは
　dF(t)/dt = f(t)
ということです。
この「変数 t」を「y」と書いても成り立つので（t, y は単なる記号ですから）
　dF(y)/dy = f(y)
よって⑤は
　f(y) = (1/2)e^(y/2)
ということになります。

これで「関数 f(y) の形」が定まったので、あらためて変数を「x」で書けば（この x は①とは関係ない「任意の変数 x」）
　f(x) = (1/2)e^(x/2)
となります。


質問事項

＞なぜf(2x)以外に2が出てくるのでしょうか？

は③式のところの話です。
つまり「変数変換」が行われているのです。
手書きの部分の書き方がちょっとおかしくて、正しくは
　d(2x)/dx (= 2)　（変数を x → 2x （上の説明では y）に変換）
のために、この「２」がかけられているのです。

No.4 回答者： mtrajcp 回答日時： 2024/03/08 22:49

∫_{1～2x}f(t)dt=e^x+a

F(t)=∫f(t)dt
とすると
(d/dt)F(t)=f(t)

∫_{1～2x}f(t)dt=F(2x)-F(1)

だから

F(2x)-F(1)=e^x+a
↓両辺をxで微分すると

(d/dx)F(2x)=e^x

↓(d/dx)F(2x)={d(2x)/dx}({d/d(2x)}F(2x))=2f(2x) だから

2f(2x)=e^x

No.3 回答者： masterkoto 回答日時： 2024/03/08 21:50

f(t)の原始関数をF(t)とすると

∫f(t)dt＝F(t)ですし
逆に、F'(t)＝f(t)です
これを踏まえ
tの文字式であるf(t)の定積分は
∫(1〜2x)f(t)dt
＝[F(t)]…(t:1〜2x)
＝F(2x)-F(1)　
＝右辺
です
次に、
F(2x)-F(1)＝e^x+a…①
の両辺をxで微分しますが、F(2x)が合成関数なので、
合成関数の導関数の定理
dy/dx＝(dy/du)(du/dx)を利用します
y＝F(2x)
u＝2x
とおくと
y＝F(2x)＝F(u)
で
dy/du＝F'(u)＝f(u)
du/dx＝(2x)'＝2
だから
(d/dx)F(2x)＝dy/dx
＝(dy/du)(du/dx)
＝f(u)・2
＝2f(2x)
このことから
①式左辺をxで微分したものは
2f(2x)となります
(F(1)は定数なのでこれを微分すると0。またdtがつくのは誤り)
右辺の微分はe^x
ゆえに、
2f(2x)＝e^x
となります

No.2 回答者： endlessriver 回答日時： 2024/03/08 20:21

A={F(x+h)-F(x)}/h

={∫[1,φ(x+h)] f(t)dt - ∫[1,φ(x)] f(t)dt}/h
={∫[φ(x),φ(x+h)] f(t)dt}/h

積分の平均値の定理から
　A={φ(x+h)-φ(x)}f(c)/h, c=φ(x)+θ(φ(x+h)-φ(x)), 0<θ<1
φに平均値の定理を使うと
　A=hφ'(x+θ₁h) f(c)/h=φ'(x+θ₁h) f(c), 0<θ₁<1

ここで、fとφは連続だから、h → 0のとき、
　A → F'(x), c → φ(x), φ'(x+θ₁h) → φ'(x)
となるから
　F'(x)=f(φ(x))φ'(x)
となる。

φ(x)=2xだから、微分は　2f(2x)

No.1 回答者： endlessriver 回答日時： 2024/03/08 19:59

φ(x)=2x

　F(x)=∫[1,φ(x)] f(t)dt
とおく。

　dF(x)/dx=f(φ(x))dφ(x)/dt
　dφ(x)/dt=2