一橋大学過去問 整数問題

答案を仕上げたのですが、正しいのか心配です

アドバイスいただけると幸いです

以下問題と答案

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No.1 ベストアンサー 回答者： mtrajcp 回答日時： 2024/03/19 12:48

a-b-8とb-c-8が素数となるような素数の組(a,b,c)をすべて求めよ

条件から
a>b>c
これより
a,bは奇素数となり,
(a-b)-8=(偶数)-8から
a-b-8は偶素数2
a-b-8=2
a=b+10
b=a-10
b-c-8=a-10-c-8=a-c-18≧2
a-c≧20
a≧c+20≧22
a≧23
b-c-8≧2
b≧c+10≧12
b≧12
bは素数だから
b≧13

bは13以上の素数だから3の倍数でないから
b=1(mod3)またはb=2(mod3)
b=2(mod3)と仮定すると
a=b+10=12=0(mod3)となってaが3の倍数でないことに矛盾するから
b=1(mod3)

d=b-c-8とすると
dは素数

c=2のとき
b=1(mod3)だから
d=b-c-8=b-10=1-10=-9=0(mod3)
だからdは3の倍数素数だから
d=3
b=d+10=13
a=b+10=23
(a,b,c)=(23,13,2)

cが奇素数のとき
d=b-c-8 は偶素数だから
d=b-c-8=2
b=c+10
b=1(mod3)だから
c=b-10=1-10=-9=0(mod3)
だからcは3の倍数素数だから
c=3
b=c+10=13
a=b+10=23
(a,b,c)=(23,13,3)