二項定理の応用計算について。

二項定理の応用計算の計算結果を教えてください。

(a +b +c)7乗の展開式における次の項の係数の求めよ。
問)b4乗c3乗。自分で計算したら35になりました。

計算過程は
問題がb4乗c3乗なので、(b＋c)＋aと置き換えました。
7C0で　(b＋c)7とし

n Cn-r より　b4乗c3乗＝7C7-3で


7 C4＝7.6.5.4/4.3.2.1 ＝35ですか？

No.7 ベストアンサー 回答者： sc348253 回答日時： 2024/05/07 16:24

https://manabitimes.jp/math/1281
他項定理からb4乗c3乗の係数は　7!/(0!4!3!)=7*6*5/(3*2)=35

2項定理なら
(b+c)^n=Σ【k=0～n】nCr b^n-r c^r より
n-r=7-3=4
r=3 から
7C3=7*6*5/(3*2)=35
　結果は同じですが正確には　7C4 ではなく　7C3

ただし　(c+b)^n
と cとbを逆にするならば
n-r=3
r=4 なので
7C4=35 と貴方の答えで合うことになりますね！

No.6 回答者： tknakamuri 回答日時： 2024/05/06 16:53

n 個を p個, q個, r個 (p+q+r = n) に分ける分け方は

まず n個から p 個選び、残り(n-p)個からq個選ぶ選び方だから

nCp・(n-p)Cq 通り
つまり
a^p・b^q・c^rの係数 = nCp・(n-p)Cq

と考えるのが素直かな。

p=0, q=4, r = 3 の場合

nCa・(n-a)Cb = 7C0・7C4=１・7C4 = 35

No.5 回答者： endlessriver 回答日時： 2024/05/05 23:18

漫才の掛け合いはほどほどに・・・・

No.4 回答者： yhr2 回答日時： 2024/05/05 22:55

No.1 です。

「お礼」に書かれたこと。

＞nは7から計算しないといけません。

ああ、やっぱり理解できていないんだ。

#1 の②は
　nCp = 7C7
（n=7, p=7)

④は
　pCq = 7C4
（p=7, q=4)

という意味なのですよ？

そして、
　b^4･c^3 = a^(n-p)･b^q･c^(p-q)
（n=7, p=7, q=4)
その係数が
　nCp･pCq
ということなのです。

あなたのように
　nCq
を計算するのは間違いです。
今回だけは、n=p なので「たまたま」合っているのです。

No.3 回答者： ありものがたり 回答日時： 2024/05/05 22:41

答えの値は、それでいいんだけど...

(b+c)の7乗 から (bの4乗)(cの3乗) の項を取り出す前段階として
(a+(b+c))の7乗 から (aの0乗)((b+c)の7乗) の項を取り出してるので、
前段階の二項定理から生じる係数にひとこと触れてないと
答案としてダメだろ？というのが No.1 の言ってること。

二項定理
(a+(b+c))の7乗 = Σ[ｎが0から7まで] (7Ck)(aのk乗)((b+c)の7-k乗)
の右辺から、一旦 (aの0乗)((b+c)の7乗) の項を取り出して、
その係数が 7C0.

その上で再度、二項定理
(b+c)の7乗 = Σ[jが0から7まで] (7Cj)(bのj乗)(cの7-j乗)
から (bの4乗)(cの3乗) の項を取り出すと、
その係数が 7C4.

ということは、もとの (a+(b+c))7乗 を展開した中での
(bの4乗)(cの3乗) の項すなわち (aの0乗)(bの4乗)(cの3乗) の項
の係数は、(7C0)(7C4) = 1・35 = 35.

1 を掛けたのか掛けなかったのかは、値だけ見ても判らないので、
7C0 を掛けたことを答案に書いておかないと、ちゃんと考えたとみなされない。

ちなみに、同じやり方で (a+(b+c))のn乗を展開した式の
(aのk乗)(bのj乗)(cのn-k-j乗) の項の係数を計算すると、
(nCk)((n-k)Cj) = { n!/(k! (n-k)!) }{ (n-k)!/(j! ((n-k)-j)!) }
= n!/(k! j! (n-k-j)!) となるが、
これが、多項定理の項数が 3 の場合にあたる。

No.2 回答者： masterkoto 回答日時： 2024/05/05 21:25

答えは良いですが、

答案としては駄目です

多項定理
を用いるのが
一番端的な答案になるかと思います

また、
(a+b+c)⁷
＝(a+b+c)(a+b+c)(a+b+c)(a+b+c)(a+b+c)(a+b+c)(a+b+c)
を、力づくで展開するとき
7つのカッコのうち４つのカッコからはbを選び、残り三つのカッコからはcを選んで掛け算をしたとき
b⁴C³の項ができます
そのようなカッコの選び方は
7C4通りあるので
b⁴C³は全部で7C4個できることになります
ゆえに、b⁴c³の係数は7C4
と考えても良いです(⁠^⁠^⁠)

No.1 回答者： yhr2 回答日時： 2024/05/05 21:14

単純に計算だけの話なら

(a + b + c)^7
= [a + (b + c)]^7
= Σ[7Cp･(b + c)^p ･a^(7 - p)]　　　　①

で、求める b^4 ･c^3 は
　p=7
の場合ですから
　7C7 = 7!/(7!･0!) = 1　　　　②

また、

(b + c)^7
= Σ[7Cq･b^q ･c^(7 - q)　　　　③

で、求める b^4 ･c^3 は
　q=4
の場合です。
よって、
　7C4 = 7!/(4!･3!) = 7･6･5/(1･2･3) = 35　　　④

②④から、b^4 ･c^3 の係数は
　1 × 35 = 35
になります。

上のようなことを理解した上で計算していますか？

この回答へのお礼

問題がb4乗c3乗ですの
nは7から計算しないといけません。

お礼日時：2024/05/05 21:29