京都大学で出題された次の問題に関する質問です。

2016年度京都大学文系数学の問題です。
「四面体0ABCが次の条件を満たすならば、それは正四面体であることを示せ。
条件:頂点A,B,Cからそれぞれの大変を含む平面へ下ろした推薦は対面の重心を通る。
ただし、四面体のある頂点の対面とは、その頂点を除く他の3つの頂点がなす三角形のことを言う」

私は条件より、a・b = b・c = c・aを導き、それぞれの面へ下ろした垂線の長さが等しいことを|GA|^2 = |GB|^2 = |GC|^2を計算することによって示しました。
模範解答を見ると、三角形OAB,三角形OAC,三角形OBC,三角形ABCが合同であることを示しているようなのですが、私の回答だとまずいですか？

質問者からの補足コメント

• 

  すみません、Gはそれぞれの面の重心であり、実際にはG1,G2...というように名前をつけています

    補足日時：2024/06/17 09:10

No.3 回答者： mtrajcp 回答日時： 2024/06/17 09:02

Aから△OBCへの垂直点が△OBCの重心G1=(B+C)/3に一致するから

{A-(B+C)/3,B}=0
{A-(B+C)/3,C}=0
{3A-(B+C),B}=0
{3A-(B+C),C}=0
3(A,B)=(B,B)+(C,B)…(1)
3(A,C)=(B,C)+(C,C)…(2)

Bから△OCAへの垂直点が△OCAの重心G2=(C+A)/3に一致するから
{B-(C+A)/3,A}=0
{B-(C+A)/3,C}=0
{3B-(C+A),A}=0
{3B-(C+A),C}=0
3(B,A)=(C,A)+(A,A)…(3)
3(B,C)=(C,C)+(A,C)…(4)

Cから△OABへの垂直点が△OABの重心G3=(A+B)/3に一致するから
{C-(A+B)/3,A}=0
{C-(A+B)/3,B}=0
{3C-(A+B),A}=0
{3C-(A+B),B}=0
3(C,A)=(A,A)+(B,A)…(5)
3(C,B)=(A,B)+(B,B)…(6)

(1)(6)から
4(A,B)=4(B,C)
(A,B)=(B,C)…(7)

(2)(4)から
4(C,A)=4(B,C)
(C,A)=(B,C)

↓これと(7)から

(A,B)=(B,C)=(C,A)…(8)

↓これと(1)から

2(A,B)=(B,B)…(9)

(8)(2)から

2(A,B)=(C,C)…(10)

(8)(3)から

2(A,B)=(A,A)…(11)

(9)(10)(11)から

|A|^2=|B|^2=|C|^2

|A|=|B|=|C|…(12)

|A-B|^2=|A|^2-2(A,B)+|B|^2=|A|^2
|B-C|^2=|B|^2-2(B,C)+|C|^2=|A|^2
|C-A|^2=|C|^2-2(C,A)+|A|^2=|A|^2

|A|=|B|=|C|=|A-B|=|B-C|=|C-A|

|OA|=|OB|=|OC|=|AB|=|BC|=|CA|

4面体OABCの(6つの)全ての辺が等しいから

OABCは正四面体である

No.2 回答者： mtrajcp 回答日時： 2024/06/17 05:37

なぜa・b=b・c=c・aとなるかの理由が書かれていないのと

△ABCの重心
△OABの重心
△OBCの重心
△OCAの重心
はすべて異なるのに
同じ
G
を使っているからダメ

No.1 回答者： Tacosan 回答日時： 2024/06/17 00:41

結果として正四面体であることが (論理的に) 示せているのであればどのように証明しようとかまわないのだが....

さておき, 「G とは何ぞや」を全く示さないで話を進めちゃダメだろう.