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三角形の数学的重心というのは、

△ABCの3頂点のベクトルをa↑,b↑,c↑と表したときの、
p↑=(1/3)a↑+(1/3)b↑+(1/3)c↑

のことで、いわば、3点の位置平均です。

それに対して、三角形の物理的重心は、内部が詰まった三角形の薄い板があったとして、それをバランスよくささえることができる点のことです。

それらはなぜ一致するのですか?

できれば、数式での数学的説明と、直感的な物理的説明の両側面からお願い申し上げます。

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A 回答 (3件)

ddgdddddddさん、こんにちは。



ご質問は、

> △ABCの3頂点のベクトルをa↑,b↑,c↑と表したときの、
> p↑=(1/3)a↑+(1/3)b↑+(1/3)c↑
> のことで、いわば、3点の位置平均です。
…(1)

> それに対して、三角形の物理的重心は、内部が詰まった三角形の薄い板があったとして、> それをバランスよくささえることができる点のことです。
…(2)

の二つがなぜ一致するのかということですよね。


[物理的考察]
重心とは元々物理の概念なので、物理の問題として(1),(2)の二つの状況を比較します。

(1)のほうは位置平均なので、枠だけで質量のない三角形の頂点に同じ質量mを一つずつ合計3つおいたときの重心になりますね。…(1')

(2)のほうは、ご質問にあるように、内部の詰まった三角形の板の重心です。…(2')

これが一致することは次のように理解できます。

まず、重心は点ですが、板の重心を考えるときに、その板を、立てた別の板(塀のようなもの)の上においてバランスをとることを考えると、重心がその塀の上にきたときにちょうどバランスがとれますね。逆にバランスがとれたときには、塀の上に重心があります。塀の上においてバランスをとることによって、重心を含む直線が一つ引けます。

これを角度を変えてもう一回行えば、二つの直線が板の上に引けて、その交点として重心が求まります。

いま三角形ABCの頂点Aが、塀の上にあるようにして、バランスをとることを考えます。

(1')の場合、明らかに頂点Bと頂点Cが塀から等距離にあるときにバランスがとれます。

(2')の場合も同様です。なぜなら、三角形を塀と平行に無数の細長い短冊に分割して考えると、頂点Bと頂点Cが等距離にあるとき、塀から等距離にある両側の二つの細長い短冊の長さはいつも等しくなり、その対ごとにバランスがとれていますので、全体でもバランスがとれていることになります。…(3)

従って、(1'),(2')とも同じ置き方で塀の上でバランスがとれます。

次に頂点Bを通るように塀の上においても同様なので、結局、(1'),(2')とも重心の位置が一致することがわかります。

このようなことが「なぜ」おきるのかは、もっぱら(3)がその理由です。塀の両側の三角形を比較すると、塀の位置を底辺として、高さが等しくなります。底辺が共通なら、高ささえ等しければ、底辺からの距離が等しい切り口の長さは等しくなります。


[数式での説明]
さて、これを数式で説明すると、(1'),(2')の二つの場合とも、BCの中点をM、CAの中点をNとすると、線分AMと線分BNの交点が重心Gということなので、

 AG↑//AM↑= (AB↑+AC↑)/2
 BG↑//BN↑= (BC↑+BA↑)/2

(//は平行の意味)故に 0<t<1, 0<s<1 として、

 AG↑ = t AM↑= t (AB↑+AC↑)/2 … (4)
 BG↑ = s BN↑= s (BC↑+BA↑)/2 = s (AC↑-2AB↑)/2 … (5)

(5)より、
 AG↑ = AB↑+BG↑ = AB↑ + s (AC↑-2AB↑)/2 = s/2 AC↑ + (1-s) AB↑

これが(4)に一致するので、
 1-s = t/2
 s/2=t/2
故に、s=t=2/3
故に、AG↑ = (AB↑+AC↑)/3 … (6)

原点をOとして、OA↑=a↑、OB↑=b↑、OC↑=c↑ 、OG↑=g↑ と表すと、(6)は、
 g↑-a↑ = [ (b↑-a↑) + (c↑-a↑) ]/3 = [ b↑+c↑-2a↑]/3
 g↑= [ b↑+c↑+a↑]/3

と求まります。


[別解]
内部が詰まった三角形の重心を、積分で求めることもできます。
これは、大学生の予備知識が必要ですので、もし高校生の場合には以下は参考と考えてください。

AB上の点をQとすると、0<t<1 を用いて、
 OQ↑= ta↑+(1-t)b↑
と書け、QとCの間にある点をPとすると、0<s<1を用いて、
 OP↑=s OQ↑ + (1-s)c↑ = s [ta↑+(1-t)b↑] + (1-s)c↑ (≡ p↑とおく)…(7)

と書けます。点Pは三角形の内部の点であり、また内部の点はすべてこの形に書けます。

tを固定し、sをΔsだけ変化させたときに、(7)より、p↑は、
 Δp_s↑ = Δs [ta↑+(1-t)b↑- c↑]
だけ変化し、逆にsを固定し、tをΔtだけ変化させたときに、p↑は、
 Δp_t↑ = s Δt[a↑-b↑]
だけ変化します。

Δp_s↑ とΔp_t↑ を二辺とする微小な平行四辺形の面積は、

 ΔS = |Δp_s↑×Δp_t↑| = |Δs [ta↑+(1-t)b↑-c↑]×s Δt[a↑-b↑]|
   = sΔsΔt | [ta↑+(1-t)b↑-c↑]×[a↑-b↑]|
   = sΔsΔt | -ta↑×b↑ +(1-t)b↑×a↑ - c↑×a↑ + c↑×b↑|
   = sΔsΔt | b↑×a↑ + a↑×c↑ + c↑×b↑|
   = sΔsΔt | a↑×b↑ + b↑×c↑ + c↑×a↑|

ところで | a↑×b↑ + b↑×c↑ + c↑×a↑| は、三角形ABCの面積Sの2倍になっています(なぜなら、S = |AB↑×AC↑|/2 = |(b↑-a↑)×(c↑-a↑)|/2 = |a↑×b↑+b↑×c↑+c↑×a↑| /2 だから)ので、

 ΔS = sΔsΔt 2S …(8)

となります。実際、(8)より、

 ∫dS = ∫_0^1 sds ∫_0^1 dt 2S = S

となります。

さて、三角形の板の重心は、(7)と(8)より、

 g↑ = ∫p↑dS/S = ∫∫{s [ta↑+(1-t)b↑] + (1-s)c↑} 2 s ds dt

この積分を 0<t<1, 0<s<1 の範囲で実行すると、

 g↑ = 2 ∫s^2 ds・∫tdt ・a↑
    + 2∫(1-t)dt・∫s^2 ds・b↑
    + 2∫(1-s)sds ・∫dt・c↑
   = ( b↑+c↑+a↑)/3

と求まります。

(別解終わり)
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 こういう事に対する気の持ち方についてだけ述べます。



 #1さんが仰っているように、重心とはもともと物理での話です。なのでもともと、中身の詰まった三角形を相手にしていたわけですが、重心を計算しようとすると、数学を使用します。その時「三角形の厚みや密度が一様」だとすると、三角形の枠だけ相手にすれば良い事がわかります。
 何故なら「三角形の厚みや密度が一様」ならば、重心に対して必要な三角形の情報は、その形だけのはずです。そのような場合、枠の情報だけから重心を計算できなければ、逆に変です。
 以上は、#1,#2さんが詳細に述べられた事を、非常に大雑把に言い直しているだけです。
 現実にはいつも「三角形の厚みや密度が一様」とは限らないので、汎用性を考えると、#1さんの別解になってしまいます。
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この回答へのお礼

みなさまの詳しい説明に感謝します。

お礼日時:2007/11/01 22:05

直感的な方だけ。



数学的重心は位置平均ですから、BCの中点と点Aを結んだ直線上にあるはずで、また、ACの中点と点Bを結んだ直線上にあるはずなので、それらの直線の交点が数学的重心となるはずです。
一方、BCの中点と点Aを結んだ直線で三角形を支えると釣り合い(この直線で分けられた二つの三角形をこの直線に平行で等距離にある直線で切った切片は等しいから)、ACの中点と点Bを結んだ直線で支えても釣り合うので、それらの直線の交点が物理的重心となるはずです。
従って、三角形の場合、数学的重心と物理的重心は一致します。
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QNをkgに換算するには?

ある試験片に40kgの重りをつけた時の荷重は何Nをかけてあげると、重り40kgをつけたときの荷重と同等になるのでしょうか?一応断面積は40mm^2です。
1N=9.8kgfなので、「40kg=N×0.98」でいいのでしょうか?
ただ、式の意味がイマイチ理解できないので解説付きでご回答頂けると幸いです。
どなたか、わかる方よろしくお願いします。

Aベストアンサー

こんにちは。

kgfはSI単位ではないですが、質量の数値をそのまま重さとして考えることができるのがメリットですね。


>>>
ある試験片に40kgの重りをつけた時の荷重は何Nをかけてあげると、重り40kgをつけたときの荷重と同等になるのでしょうか?

なんか、日本語が変ですね。
「ある試験片に40kgの重りをつけた時の引っ張りの力は何Nの力で引っ張るのと同じですか?」
ということですか?

・・・であるとして、回答します。

40kgのおもりなので、「おもりにかかる重力」は40kgfです。

重力は万有引力の一種ですから、おもりにも試験片にも、地球からの重力はかかります。
しかし、試験片の片方が固定されているため、見かけ、無重力で、試験片だけに40kgfの力だけがかかっているのと同じ状況になります。

試験片にかかる引っ張り力は、

40kgf = 40kg×重力加速度
 = 40kg×9.8m/s^2
 = だいたい400N

あるいは、
102グラム(0.102kg)の物体にかかる重力が1Nなので、
40kg ÷ 0.102kg/N = だいたい400N


>>>1N=9.8kgfなので、「40kg=N×0.98」でいいのでしょうか?

いえ。
1kgf = 9.8N
ですね。


>>>一応断面積は40mm^2です。

力だけでなく、引っ張り応力を求めたいのでしょうか。
そうであれば、400Nを断面積で割るだけです。
400N/40mm^2 = 10N/mm^2 = 10^7 N/m^2
1N/m^2 の応力、圧力を1Pa(パスカル)と言いますから、
10^7 Pa (1千万パスカル) ですね。

こんにちは。

kgfはSI単位ではないですが、質量の数値をそのまま重さとして考えることができるのがメリットですね。


>>>
ある試験片に40kgの重りをつけた時の荷重は何Nをかけてあげると、重り40kgをつけたときの荷重と同等になるのでしょうか?

なんか、日本語が変ですね。
「ある試験片に40kgの重りをつけた時の引っ張りの力は何Nの力で引っ張るのと同じですか?」
ということですか?

・・・であるとして、回答します。

40kgのおもりなので、「おもりにかかる重力」は40kg...続きを読む

Qばねの仕事と弾性エネルギーの関係について

・ばねを伸ばす(縮める)のにした仕事=ばねの弾性エネルギーの増加分
・ばねが外にした仕事=弾性エネルギーの減少分

というのを習ったのですが、これでつまづいてしまいました。


ばねの先端に質量mのおもりPを取り付け、他端を天井に取り付け、全体を吊り下げて静止させた。重力加速度の大きさをg、ばね定数をkとする。

この状態からPに下向きの力を加え、ゆっくり距離aだけ引き下げ、ここで手でおさえておく。この間のばねの弾性エネルギーの増加量をUとする。
このときPに下向きに加えた力が物体Pの下方の変位の間にした仕事をWとすると、Wはいくらか?

正解
W=-mga+U

とあったんですが、なぜ上で書いたようにいかないのでしょうか?実際に力学的エネルギー保存でやるとこうなるのはわかったのですが、「仕事=弾性エネの増加」という関係にたどりつかないのがわかりません。結果から見て位置エネルギー(-mgaという)が入ってるわけですから、上で書いたことは必ずしも成り立たないということでしょうか?アドバイスよろしくおねがいします。

Aベストアンサー

・ばねを伸ばす(縮める)のにした仕事=ばねの弾性エネルギーの増加分
「ばねを伸ばす(縮める)のにした仕事」ですよね?
この場合地面垂直方向にPを動かしてやったのだから
Wは「ばね」だけにした仕事ではないです。
ばねに仕事をしないと、ばねはエネルギーを吸収も放出もしないです。
たとえば1つのばねがあり、それとは別の位置にコップ一杯の水が有ったとします。
今水にW=100ジュールの熱を加えたとき、ぜんぜん関係の無いばねがその100ジュールを吸収するでしょうか?
-mgaはPの位置を変えるのに使われたエネルギーであってばねはまったく関係ありません。
ばねを水平に置いて同様のことををすると位置エネルギーが変わらないので、「仕事=弾性エネの増加」となりますが(空気抵抗その他無視でですけど)

Q東大の理1と理2の違いは?

僕は次から高1になるのですが、大学は東大の理系を考えています。
理3が医学部だということは分かっている(し、行く気はない)のですが、
理1と理2の違いがあまりはっきりしません。
学部進学の際、どのように振り分けられるのですか?
できれば具体的な人数なんかのデータがあればいいのですが・・・。

Aベストアンサー

>工学が1、農学が2、理学部ではそんな変わんないって感じでしょうか。

理学部はひとくくりにできませんよ。
物理学科、数学科などは理1優勢ですし、化学科だと同じくらい、生物学科なら少し理2優勢といった感じです。
#2で示した集計表のとおりです。
細かいこと言い出すと、工学、農学も学科によって色合いがかなり異なりますよ。

大まかなことを言えば、#2の文中に示した進学振り分けについての資料にありますが、
理科一類 工学部・理学部・薬学部・農学部
理科二類 農学部・理学部・薬学部・医学部・工学部
↑は、それなりに人数比率も反映した順番になっていて、理1なら工・理が大部分を占めるし、理2なら農・理・薬が大部分を占めます。

ここまでいろいろ書きましたが、どちらかというと、momomoredさんには#2の集計表とにらめっこしてほしくありません。
むしろ、大学側からの「進学のためのガイダンス」(http://www.u-tokyo.ac.jp/stu03/guidance/H16_html/index.html)や、#2の進学振り分けの資料の中の各学部の紹介とか、あるいは、各学部のホームページ(学部ごとにホームページをもっています)を見て、できれば研究室のホームページまでチェックして、具体的に何がやりたいか、そしてそれをやるためには東京大学のあの研究室で学びたいんだ、ということをしっかりと意識することのほうが大切だと思います(それがなかなかできないわけですが…ハイ)。

あくまで#2の集計表とかは参考までにね。#2で書いたように、入ってから行きたくても行けない学部・学科なんてものはほとんどないですから(文転もありですよ)。
目標高く勉強のほうがんばってください。

>工学が1、農学が2、理学部ではそんな変わんないって感じでしょうか。

理学部はひとくくりにできませんよ。
物理学科、数学科などは理1優勢ですし、化学科だと同じくらい、生物学科なら少し理2優勢といった感じです。
#2で示した集計表のとおりです。
細かいこと言い出すと、工学、農学も学科によって色合いがかなり異なりますよ。

大まかなことを言えば、#2の文中に示した進学振り分けについての資料にありますが、
理科一類 工学部・理学部・薬学部・農学部
理科二類 農学部・理学部・薬学部・...続きを読む

Qなぜ物理は独学が不可能なんですか?

こちら(http://d.hatena.ne.jp/nimsel/20080703)のサイトに、
「医学部・東大・京大を志望する場合、0から二次レベルまでの物理の独学は不可能に近いです。」
との記述があります。

さらにこちら(http://ja.wikibooks.org/wiki/%E4%BA%AC%E5%A4%A7%E5%AF%BE%E7%AD%96)のページにも、
「独学はほぼ不可能だと思われる」
と書かれています。

しかしながら受験勉強法研究家として有名な(しかし自分はあまり参考にはしていませんが。)
和田秀樹氏は、本の中で、「橋本の物理をはじめからていねいに」という参考書について、
「下手な教師よりよっぽどわかりやすい。今まで物理が独学に不向きと言われていたのはこのような参考書がなかったから。」
というようなコメントをしています。

ということは、参考書で授業と同じような理解ができるのではないでしょうか?

私は恥ずかしながら、落ちこぼれからほぼ独学で旧帝大医学部に行こうと思っています。
高2から物理の授業が学校で始まる予定でしたが、丁度高2から家庭の事情により、高校には通っていませんので、ほぼ独学というわけです。
数学はちっぽけな個人塾に行ってるので、まあ完全独学というわけではないので、他の科目は努力次第で目処がたちそうなのですが、物理は方々で、「独学は無理。国立医学部となるとなおさら無理。」という声が色々なサイトで目に入り、「ああやっぱり(高レベルまで行くとなると)独学なんて無理なのかなぁ。」と落胆と失望を何回か繰り返しています。

(といっても、そんな気持ちからかやるべきことをやる前からそんなこと思ってます。自分ではあまり100%無理なんて思いはないのですが、外部情報から無理だと思わせられている。だから無理なのかなぁと心配になりやる気が出ない。自分に都合良く言わせてもらえばそんな状態でいます。
他の科目は勉強してますが、物理に関しては、「独学は無理」という言葉が頭に浮かび、生物にしたほうがいいかなぁなどと躊躇して勉強する気になれません。ただ生物より物理のが、現代医療はMRIとかあるし、大切なのでなるべく物理を学びたいのです。大学に入ってから苦労しそうだし。
それで実際の所はどうなんだろうと質問いたしました。)


そういうわけで、例として上に挙げたようなサイトで言われる、
「物理は独学は不可能」
という言葉の理由についてお聞きしたいです。

それと、旧帝大医学部レベルまで物理を独学で引き上げるのは、正直なところ無理なのかという点も意見を下さい。因みに自分は理解力はいいほうではありません。文系脳に近いです。
数学は人より時間をかけてできるようになった方だと思います。
時間は1年半ですね。最悪でも1浪(2年半)までで受かりたいです。

もし肯定的な意見をお持ちの方がいたら、勉強を進めていく上でアドバイスもいただけますでしょうか。

ちなみに「旧帝大」と付けるわけは、ある医学部の方が書いた本に、
「臨床か開業なら関係ないが、それと平行して研究、あるいは専門の研究医になるならやはり旧帝大系でないと厳しいというのが実情。」
と書いてあったからです。
医学の研究にも興味があるので、そちらの方に有利な旧帝大医に是非とも受かりたいのです。。

真剣に悩んでいます。
ご高見お願いいたします。

こちら(http://d.hatena.ne.jp/nimsel/20080703)のサイトに、
「医学部・東大・京大を志望する場合、0から二次レベルまでの物理の独学は不可能に近いです。」
との記述があります。

さらにこちら(http://ja.wikibooks.org/wiki/%E4%BA%AC%E5%A4%A7%E5%AF%BE%E7%AD%96)のページにも、
「独学はほぼ不可能だと思われる」
と書かれています。

しかしながら受験勉強法研究家として有名な(しかし自分はあまり参考にはしていませんが。)
和田秀樹氏は、本の中で、「橋本の物理をはじめからていねいに...続きを読む

Aベストアンサー

数学であれ、化学であれ、生物であれ、各科目には、「その科目の学び方」というものがあると思います。

物理の場合は、
「物理とは何を目指しているのか?」
「物理は、どうやって学んでいったらよいのか?」
といったところで、つまづく人が、他の科目よりも多いように思います。

物理には、数式が登場しますが、同時に、「数式の解釈」というものが付きまといます。

言い換えれば、「自然現象のイメージと数式が結びつく」ということになりましょうか。

これがうまくいかないと、公式を暗記しても、理解できないのだと思います。

そして、この部分に、物理独特の考え方がたくさん出てきて、独学を妨げているように思います。

予備校であれ、参考書であれ、「自然現象と数式とが結びつく」という点を詳しく説明してくれるものがあれば、独学が可能だと思います。

あくまでも個人的な意見なので、お役に立つかどうか分かりませんが、自分自身が物理を学んだときに感じた難しさを思い出して、書かせていただきました。

参考サイトは、考え方の部分を説明してくれています。

参考URL:http://tahara-phys.net,http://webkouza.com

数学であれ、化学であれ、生物であれ、各科目には、「その科目の学び方」というものがあると思います。

物理の場合は、
「物理とは何を目指しているのか?」
「物理は、どうやって学んでいったらよいのか?」
といったところで、つまづく人が、他の科目よりも多いように思います。

物理には、数式が登場しますが、同時に、「数式の解釈」というものが付きまといます。

言い換えれば、「自然現象のイメージと数式が結びつく」ということになりましょうか。

これがうまくいかないと、公式を暗記して...続きを読む

Q固有振動数

物理で波動について学んでいます。
先日、固有振動数という言葉が出てきたんですけどこれはいったいなんなのでしょう?
わかりやすく教えてくれませんか。

あとその後に基本振動、2倍振動と出てきたんですがまた別物ですか?
これも何か教えてほしいです。
物理できる方教えてください。
よろしくお願いします。

Aベストアンサー

 誤解を恐れずにいうと、固有振動数というのは、その物体が自然に振動するときの振動数です。

 例えばブランコに人が乗って揺れているとき、ある振動数で揺れますね。この揺れているときの振動がそのブランコ(と人)の「固有振動」で、その振動数を「固有振動数」といいます。
 このブランコを別の人が押してあげるとき、この振動数に合わせて押すと大きく揺らすことができますが、違う振動数で押してもうまく揺れません。固有振動数に合わせた振動が外から加わって揺れが大きくなる現象を「共振」といいます。(音の場合は共鳴ともいいます。)

>基本振動、2倍振動と出てきたんですがまた別物ですか?

 固有振動は一つとは限りません。たとえばギターの弦を振動させるとき、普通に弦をはじくときの振動以外に、弦の中央をさわりながら弦をはじくと、2倍の振動数で振動します。(「中央を押さえて」ではなく、「中央をさわりながら」で、振動しているときは全体が振動している状態。ギター奏法では「ハーモニクス」というらしい)

 固有振動のうち、振動数の一番小さい振動を「基本振動」といい、ギター弦で中央をさわりながらはじいたときのような振動を「2倍振動」といいます。

 なお、2倍だけでなく「3倍振動」「4倍振動」……もあります。いずれも固有振動です。

 誤解を恐れずにいうと、固有振動数というのは、その物体が自然に振動するときの振動数です。

 例えばブランコに人が乗って揺れているとき、ある振動数で揺れますね。この揺れているときの振動がそのブランコ(と人)の「固有振動」で、その振動数を「固有振動数」といいます。
 このブランコを別の人が押してあげるとき、この振動数に合わせて押すと大きく揺らすことができますが、違う振動数で押してもうまく揺れません。固有振動数に合わせた振動が外から加わって揺れが大きくなる現象を「共振」といい...続きを読む

Qn角形の重心を求めるアルゴリズム

平面2次元のn角形の頂点のデータがあります。n点の座標ですから(x,y)がn個並んでいます。そのような図形の図心(重心)の座標を計算するアルゴリズムがないでしょうか。最終的にはプログラムとして離散的な処理をするため、1%ぐらいの誤差は許容範囲です。n角形と言ってもせいぜいn=3,4,5,6程度です。

欲を言うと、3次元も考えており、平面に含まれることが分かっているn個の点(3次元空間内)を平面の2次元空間に変換して重心を求め、それを3次元空間に引き戻せば3次元での重心となります。そのためにも2次元での重心の座標を求めるアルゴリズムが必要なのです。

よろしくお願いします。

Aベストアンサー

n角形の頂点を、辺を一周する順に番号付けて P[k], k = 0,1,2,…,n-1 とします。

図形を分割すると、重心は、分割された各部品の重心を、各部品の面積で加重平均
したものになりますから、同じ平面内に点 Q をとって、
△QP[k]P[k+1], k = 0,1,2,…,n-1 (ただし P[n] は P[0] の別名とする)
の重心 (Q + P[k] + P[k+1]) / 3 を、△QP[k]P[k+1] の面積を重みとして
加重平均すればよいことになります。Q は、P[n-1] を採用してかまいません。

その際、△QP[k]P[k+1] がn角形の中にあるか外にあるかに従って、面積に正負を
付けて扱う必要があるため、面積 △QP[k]P[k+1] = (1/2)|↑QP[k]×↑QP[k+1]| の
替わりに、絶対値をつけない ↑QP[k]×↑QP[k+1] そのものを重みとして扱うほうが
便利でしょう。スカラーの計算で済ますために、n角形が乗っている面に平行でない
ベクトル V をひとつ固定して、↑QP[k]×↑QP[k+1]・V を重みにすれば、尚よい。
外積との内積だから、スカラー三重積ですね。平面の方程式が既知ならば、その
法線ベクトルが V として使えるし、そうでなければ、V = ↑QP[0]×↑QP[1] と
してもよいです。

以上まとめると…
Q = P[n-1] とする。
V = ↑QP[0]×↑QP[1] とする。
k = 0,1,2,…,n-3 の夫々について、
  X[k] = (Q + P[k] + P[k+1]) / 3 と
  w[k] = ↑QP[k]×↑QP[k+1]・V を求める。
重心は、(Σ w[k] X[k]) / (Σ w[k]) である。

← No.1
順序付けの自動化は、原理的に無理でしょう。
頂点の集合が同じでも、順序付けが異なると、n角形は別のものになる訳ですから。

n角形の頂点を、辺を一周する順に番号付けて P[k], k = 0,1,2,…,n-1 とします。

図形を分割すると、重心は、分割された各部品の重心を、各部品の面積で加重平均
したものになりますから、同じ平面内に点 Q をとって、
△QP[k]P[k+1], k = 0,1,2,…,n-1 (ただし P[n] は P[0] の別名とする)
の重心 (Q + P[k] + P[k+1]) / 3 を、△QP[k]P[k+1] の面積を重みとして
加重平均すればよいことになります。Q は、P[n-1] を採用してかまいません。

その際、△QP[k]P[k+1] がn角形の中にあるか外にあるかに従...続きを読む

Q四角形の中心の求め方

四角形の中心(真中)の求め方は、
各辺の真中を添付画像のように結んだ線の交わる点と考えてよいでしょうか?
よろしくお願いします。

Aベストアンサー

一般の四角形(および多角形)には「中心」は定義されていないと思います。
おそらく「中心」という言葉が使われるのは回転対称図形だけでしょうね。
つまり「回転対称の中心」の省略表現です。

正方形は中心回りに90度回すごとに同じ向きに戻ります(4回回転対称)。
長方形・菱形・平行四辺形は180度ごとです(2回回転対称)。
これ以外の台形などには回転対称性はありませんから、誰もが納得する中心は
決めれなさそうです。


辺の中点を結ぶ方法で問題になるのは、凹四角形(ブーメラン形?)の「中心」を
決めると図形の外に出てしまう場合があることです。これは重心でも同じです。
あとは、五角形以上に拡張できないことでしょうか。

重心を中心の定義に採用すれば回転対称でなくても定義できますが、問題点は
図形を鉄板で考えるか針金の枠(輪郭)で考えるかによっても位置が変わってしまう
ことです。

Q高校の数学なんですけど二等辺三角形の場合重心、内心、外心は同じところに

高校の数学なんですけど二等辺三角形の場合重心、内心、外心は同じところにあるんですか?図を書きたいのですがわからなくて困っています。

Aベストアンサー

>二等辺三角形ABCの重心、内心、外心をそれぞれG,I,OとしてABと ACが9、BCが6のAOの長さはどうやったら求められるんでしょうか。

 外心の半径をxとします。
 また、辺BCの中点をMとします。

 すると BM=3 ですから、△OCMにおいて三平方の定理から OM=√(9-x^2) と表せます。
 また、△ABMにおいて三平方の定理から AM=6√2 と表せます。

 AO+OM=AM ですから
  x+√(9-x^2)=6√2  ・・・・★

 両辺を2乗して 2x{x+√(x^2-9)}=81 を得ます。
 この式に式★を代入すると
  2x 6√2=81
 ∴x=27√2/8 =AO


 ちなみに、∠B=θ とおいて 正弦定理でも求められますよ。
  2R=6/sin(π-2θ)=9/sinθ ∴cosθ=1/3, sinθ=2√2/3 ∴R=27√2/8

Q角加速度とトルクと慣性モーメントの関係

トルクを慣性モーメントで割ると角加速度が出ると思うのですが
どうして出るのでしょうか?
トルク:N
角加速度:α
慣性モーメント:I
式はN=α・I
単位だけで見ると
N・m = rad/s^2 × kg・m^2
で一見関係が無いように見えますが・・・
感覚的に、軽くて小さなものと重くて平べったいものを同じスピード(加速度)で回すときは
後者の方がかなり力がいるのはわかるのですが・・・
式から関係性が見えません・・・
どなたかご存知の方、詳しい方、ご教示いただけますでしょうか?

Aベストアンサー

単位だけに注目します。

1Nは1kgの質量の物体を1m/s^2で加速させる力の大きさです。
つまり
1N=1kg・m/s^2

つまりトルクの単位は
N・m=kg・m/s^2・m=kg・m^2/s^2
となります。

慣性モーメントと角加速度の積は
kg・m^2・rad/s^2
となりますが、角度の単位radは無次元量(長さを長さでわったものだから)ですので無視できます。つまりこの積は
kg・m^2/s^2
とあらわせることになり、これはトルクの単位と等しいことがわかります。

QTOEFL ITPのスコアについて教えてください。

こんにちは。
大学でTOEFLのテストを受けました。
結果は443?点でした。
ですがこのスコアはどの程度のものなのでしょうか?
というのも、こんな成績で恥ずかしながら運良く入試がよく解けて大学の特待生として入学したので、傑出していなければ落とされてしまうのではと不安でたまりません。
偏差値60前後の大学なのですが、その新入生としてはやはり悪い数字でしょうか?
実際に、500点が留学の基準と言われていますよね?
それには少なくても満たないし…。
入試が終わってから一ヶ月サボったつけが回ってきたと後悔しています。
回答よろしくお願いします。

Aベストアンサー

ITPの場合は、満点が677点。でCBTやibtとの換算表においては、PBTとまったく同じ点数となります。
http://www.ncc-g.com/page33.html
443点ということは、cbtで127、ibt43と同じということですが、ibt43が高校卒業と同じぐらいのレベルですから、大学1年生としては妥当なスコアだと思います。これから努力すればスコアは上げられますよ。
http://eq-g.com/article/exam/exam-hikaku/


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