高校数学、図形

ＡＢ＝５、ＢＣ＝７、ＣＡ＝３の三角形ＡＢＣにおいて、角Ａの内角の２等分線が三角形ＡＢＣの外接円と交わる点をＤ，ＢＣとＡＤとの交点をＥとする。
（１）cos∠ＢＡＣの値を求めよ。
（２）ＡＥの長さを求めよ。
（疑問）
（１）は余弦定理でcos∠ＢＡＣ＝-1/2と出せました。
（２）はＢＥを角の２等分線の定理で３５/８と出してから∠ＢＡＥ＝６０度より、ＡＥ＝ｘとおいてから、三角形ＡＢＥに預言定理を使いました。
すると、ｘ＝15/8,25/8となりました。（計算ミスはないと思います）
ここで、候補を絞ろうと、三角形ＡＢＥに関して三角形の成立条件を考えました。
ｘについて、Ⅰ５－（35/8）Ⅰ（絶対値のつもりです）＜ｘ＜５＋（35/8）より、
5/8<x<75/8。これは上の候補はどちらも満たしています。
よって、答えは、ｘ＝15/8,25/8.
しかし、正解は15/8であり、模範解答では三角形ＡＢＤの面積を２種類の方法で表すことで、ｘが１次式になり、候補が１つになるようにしていました。
私の解はいずれも三角形の成立条件は満たしているのに、なぜ25/8のほうはだめなのですか？
どなたかわかる方教えてください。お願いします。

質問者からの補足コメント

• 回答ありがとうございます。
  自分でも参考書を読み直してみたところ、
  三角形の決定条件というものがあり、
  ①３辺②２辺夾角③2角夾辺によって、三角形が１意に決まるらしいです。
  まず、自分がどうして間違えたのかを考えたのですが、
  本問の場合、もし三角形ＡＢＥについて、「ＡＢ＝５、ＢＥ＝35/8,∠ＢＡＥ＝６０°」という条件のみならば、私の出した答えは正解だったが他の条件（周りの三角形との関係）によって、ＡＥの長さは１つに決まったと考えてよいでしょうか？
  もう１つあるのですが、
  三角形の成立条件についてですが、
  教科書の証明、文章を読み直してみました。
  あれは三角形が成立する⇔２辺の差＜他の１辺＜２辺の和ということですよね？（矢印は双方向で、１方向ではないですよね？）
  
  今回の場合、周りの三角形があるから成立条件を満たしていても、２つの候補のうち１つに絞られるということですか？

    補足日時：2015/08/24 23:35

No.4 回答者： yhr2 回答日時： 2015/08/25 00:33

No.2です。

「補足」に書かれたことについて。

＞三角形の決定条件というものがあり、
①３辺②２辺夾角③2角夾辺によって、三角形が１意に決まるらしいです。

　はい。今回の問題は、「２辺と、夾角ではない１角」ですので、このいずれの条件も満足しません。従って、「ただ一つの三角形」を決定できません。


＞本問の場合、もし三角形ＡＢＥについて、「ＡＢ＝５、ＢＥ＝35/8,∠ＢＡＥ＝６０°」という条件のみならば、私の出した答えは正解だったが他の条件（周りの三角形との関係）によって、ＡＥの長さは１つに決まったと考えてよいでしょうか？

　はい、そうです。
　お示しの問題で、∠BEAは鈍角（90°より大きい）となっています。これは、三角形ACEがあることで、その条件が定まります。つまり、∠BEA + ∠CEA = 180° という条件です。

　三角形ACEガない場合には、AEを延長した直線を引き、BE=BFとなる点FをAEの延長線上に置くと、三角形BEFは二等辺三角形となります。このとき、三角形ABFも「AB=5、BF=35/8、∠BAF＝60°」という条件を満たします。三角形ABEでは∠BEAは鈍角（90°より大きい）ですが、三角形ABFでは∠BFAは鋭角（90°より小さい）です。

　つまり、三角形ACEという条件（∠BEA + ∠CEA = 180° という条件）がない場合には、三角形ABEと三角形ABFの両方が、「1辺が=5、もう一辺が=35/8、夾角が＝60°」を満たすのです。
　しかし、∠BFA + ∠CEA は180° にはなりません。（∠BFA = ∠BEF = ∠CEA です）


＞あれは三角形が成立する⇔２辺の差＜他の１辺＜２辺の和ということですよね？（矢印は双方向で、１方向ではないですよね？）

　はい。当然、三角形ABEも、三角形ABFも、この成立条件を満足します。


＞今回の場合、周りの三角形があるから、成立条件を満たしていても、２つの候補のうち１つに絞られるということですか？

　はい、そうです。上に書いたことの繰り返しですが、単独の三角形で考えれば、同じ余弦定理を満足する三角形として三角形ABEと三角形ABFの2つが存在し得ますが、もともとある三角形ABCの∠BACを2等分して作った三角形ABEは、∠BEA + ∠CEA = 180° という制約があります。三角形ABFではこれを満足せず、一方の三角形ABEだけに絞られることになるわけです。

　図が描けないので分かりづらいですが、ご理解いただけますか？

No.3 回答者： 素人Z 回答日時： 2015/08/24 19:51

こんばんは。

#1 でございます。
大変申し訳ございません。質問に対する回答ではないことを書いてしまいました。ご容赦くださいますようお願い申し上げます。

この回答へのお礼

解答ありがとうございます。

お礼日時：2015/08/24 23:37

No.2 回答者： yhr2 回答日時： 2015/08/24 09:41

「答えは、ｘ＝15/8, 25/8」は、三角形ABEに余弦定理を適用して求めたと思いますが、同様に三角形ACEに余弦定理を適用すると、ｘ＝15/8, 9/8」となります。

　求める x はこの共通の値ということで、「ｘ＝15/8」と定まります。

　AE=x とした余弦定理では、∠AEBが鋭角の場合と鈍角の場合とで2つの x が求まりますが、この場合は幾何学的に「∠AEBは鈍角」となる方、つまり「ｘ＝15/8, 25/8の小さい方」と定まるわけです。
　三角形ACEの場合には、「∠AECが鋭角となるものが x」になるわけです。

　図を描けば明確に判断できます。

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。

お礼日時：2015/08/24 23:38

No.1 回答者： 素人Z 回答日時： 2015/08/24 09:35

僕はこのやり方で解いてみました。

(1)
余弦定理より
cos(∠BAC)=(5^2+3^2-7^2)/(2･5･3)=(-15)/(2･5･3)=(-1)/2

(2)
(1)より∠BAC=120°
△ABC=△ABE+△ACEにより
(1/2)･5･3sin(120°)=(1/2)･5･AEsin(60°)+(1/2)･3･AEsin(60°)
∴ 5･3=(5+3)AE　(∵ sin(120°)=sin(60°))
よって AE=(15)/8