まあべつにいいけど

偶関数だから 展開しても偶関数のこうしかでないって
よくないですよねあんまり？

No.7 ベストアンサー 回答者： ありものがたり 回答日時： 2024/06/29 00:04

「展開」の種類にも依るけどね。

例えば、偶関数 f(x) = x^2 の複素フーリエ展開は
f(x) = (π^2)/3 + Σ[n≠0] {2((-1)^n)/n^2}e^(inx) で、
右辺の各項は、偶関数ではない。

No.6 回答者： mtrajcp 回答日時： 2024/06/28 19:58

偶関数fを多項式展開すると

f(x)=Σ{k=0～n}a(k)x^k
=Σ{kは偶数}a(k)x^k+Σ{kは奇数}a(k)x^k…(1)
=f(-x)
=Σ{k=0～n}a(k)(-x)^k
=Σ{kは偶数}a(k)x^k-Σ{kは奇数}a(k)x^k

Σ{kは偶数}a(k)x^k+Σ{kは奇数}a(k)x^k=Σ{kは偶数}a(k)x^k-Σ{kは奇数}a(k)x^k
↓両辺にΣ{kは奇数}a(k)x^k-Σ{kは偶数}a(k)x^kを加えると
2Σ{kは奇数}a(k)x^k=0
↓両辺を2で割ると
Σ{kは奇数}a(k)x^k=0
↓これを(1)に代入すると

f(x)=Σ{kは偶数}a(k)x^k

右辺の多項式は偶数次数(偶関数)の項しかでない

この回答へのお礼

ありがとうございます～
なるほど、じゃあいっぱんｎの直行系などでも（たとえば三角関数）
なりたちますね？？？？？？？？？？？？？

お礼日時：2024/06/28 20:14

No.5 回答者： mtrajcp 回答日時： 2024/06/28 18:09

f(x)=e^x

とすると
f(-x)=e^(-x)≠e^x=f(x)
だから
fは偶関数ではないけれども
g(x)=f(x)+f(-x)=e^x+e^(-x)
とすると
g(-x)=f(-x)+f(x)=g(x)
だから
gは偶関数

この回答へのお礼

え証明になってますか？

お礼日時：2024/06/28 18:25

No.4 回答者： mtrajcp 回答日時： 2024/06/28 13:53

f(x)=f(-x)

が成り立つ関数fを偶関数という
f,gが偶関数なら
f(x)=f(-x)
g(x)=g(-x)
だから
h(x)=f(x)+g(x)
とすると
h(x)=f(x)+g(x)=f(-x)+g(-x)=h(-x)
だから
hも偶関数
だから
(偶関数)+(偶関数)=(偶関数)

この回答へのお礼

うーん、そんな十分性は自明ですけど、必要性は別問題だとおもいます

お礼日時：2024/06/28 16:04

No.1 回答者： fxq11011 回答日時： 2024/06/28 11:43

いったい何がよくないのか？、自分でも理解できていないのでは？。

この回答へのお礼

じゃあしめせますか？

お礼日時：2024/06/28 13:14