1/xを積分することでなぜlogxが生まれるの? 哲学的意味は?

まず、xという未知数があり、それに加減、実数倍をすることで、多項式が生まれます。
多項式には、掛け算も考えられます。
そして、割り算も考えることで、有理関数が生まれます。
（または、無限和を考えても、有理関数が生まると言っていいかもしれません）

次に微分を考えます。
有理関数（多項式を含む）を微分しても、新しい関数は生まれません。
そこで、積分を考えます。
積分とは、面積を元にして考えられたリーマン積分とします。
すると、1/xを積分することでlogxという新しい関数が生まれます。
もちろん、理屈は分かります。

x^n(nは整数)を微分すると、
x^(-2),x^(-1),x^0=1,x^1,x^2
はそれぞれ、
-2x^(-3),-x^(-2),0,1,2x
となり、x^(-1)が抜けます。そこで、逆にx^(-1)を積分すると、logxが生まれます。不思議で仕方ありません。

どういった哲学があるのでしょか?
どういった数学と関係があるのでしょうか?

複素関数論の留数定理と関係があるのは分かります。
他に意味合いはあるのでしょうか？

No.4 ベストアンサー 回答者： alkantala 回答日時： 2006/12/28 00:36

哲学的意味と言われる位なら何か言いようの無い不思議さを感じているのだと思われますので、多分どんな説明があっても「ああそうか！」と心から納得できるものは無いだろうとお察しします。

逆に言えばその不思議さは抱えたままにしておくのが面白いのではないかと。不思議なことについて自分で思索を深めることで新しい数学・新しい哲学を生み出すことができるかもしれません。

ともあれ私も一つの考え方を紹介してみたいと思います。

まず多項式を考えることにしましょう。
最初は次数がＮ以下の多項式全体を考えることにします。
次数Ｎ以下の多項式全体を複素数体（または適当な体）上のベクトル空間とみなします。このとき次元はＮ＋１次元です。
基底として{1,x,x^2,...x^N}をとっておきます。

ここで微分を超越的な意味で定義されるものではなく、
上記のベクトル空間の線形変換として
f(1)=0,　f(x^n) = n x^{n-1} (n=1,2,...,N)
により定義します。この線形写像は単射でも全射でもありません。
しかしｆを{x,x^2,...,x^N}で貼られる部分空間に制限して考えれば単射です。像は{1,x,x^{N-1}}で貼られる部分空間になります。
この制限した空間上でのｆの逆写像を「積分」と考える事にします。

ｆの{x,x^2,...,x^N}, {1,x,...,x^{N-1}}に関する表現行列を考えてみます。これは1,2,...,Nを対角成分にもつＮ次正方行列です。
ｆの逆写像はこの無限次元行列の逆行列で表現されます。
この逆行列は1,1/2,...,1/Nを対角成分にもつ逆行列です。

多項式 1+x+x^2+...+x^{N-1} はｆの像に入ってます。
これのｆによる逆像は x+(1/2)x^2+(1/N)x^N です。

ここでベクトル空間の次元Ｎを形式的に無限大で置き換えてみると
線形写像 F(1)=0, F(x^n)=nx^{n-1} (n=1,2,...) の像の元
1+x+x^2+... のＦによる逆像として
(空間は逆写像が考えられるよう適当に制限して考えています)
x+(1/2)x^2+...+(1/N)x^{N}+...
が得られます。これは -log(1-x) のマクローリン展開の式です。

無限を考えるのを最後にすることで、
logが発生する様が見えるようにしてみたつもりです。
いかがでしょうか。

本題とはズレますが、割り算を考える事と無限和を考える事には明らかな違いがあります。割り算を考える事は多項式環の商体として有理関数体をとる操作になりますが、無限和を考える場合は多項式環を解析関数の空間へ埋め込んで考える事になります。収束の問題を無視して代数的に考えたいのであれば多項式環の形式的ベキ級数環へ埋め込みと考えればよいでしょう。何にせよ割り算を考える事と無限和を考える事には大きな差があります。
解析関数のマクローリン展開を考えれば有限和（多項式）から無限和へと視野を広げることで多項式から指数関数、対数関数、三角関数といった関数が現われることが観察されるかと思います。

No.3 回答者： toranekosan222 回答日時： 2006/12/27 22:02

1/xの積分関数をlogxが補間していると言いたいのだと思います。

そして、そこに哲学的な意味合いがあるはずだと言っていますね。
その根拠としてはいわゆる有理関数の微分が新しい関数を生まないが、
積分こそが生むことが出来るのだと。

最後の部分で間違っています。

有理関数（多項式を含む）を微分することで新しい関数が出来る場合があります。超関数の本を読めばいくらでもあります。もちろん積分が新しい関数を生むことはあります。積分は新しい関数（単純ではない関数）を生みやすいです。その根源は無限和から起因している為であり、有理関数の特殊な無限和は超関数になるのが良い証拠でしょう。

関数論の方に興味があるのであれば、微分方程式関連の理論を読まれると良いかと思います。

ちなみに留数定理と関係があるのかと言われると、logxは実数空間でも閉じた状態で定義が可能であり、虚数空間でも特殊なリーマン面を考えなければ拡張できません。逆に言えば大元の定義は実数空間でなされるべき関数で、留数定理とは直接関連はありません。留数定理と関連するのならグリーン関数なんかな？？意味合いは似てるから。

No.2 回答者： nakaizu 回答日時： 2006/12/26 15:22

何をお聞きになりたいかよくわかりませんが、参考までに

足し算に対するHaar 測度が dx で、かけ算に対するHaar 測度が dx/x ですね。単純な事ですが、Haar 測度という観点から見てみるといかがでしょうか。
Haar 測度については岩波の数学辞典を見れば定義くらいはわかりますし、定義がわかれば実数体のHaar 測度くらいは理解できると思います。

No.1 回答者： N64 回答日時： 2006/12/26 11:14

理屈がお分かりになるなら、何も不思議なことはないのではないかと思うのですが、意外だとか、驚いたとか、面白いとか、美しいとかということなら、なんとなく理解できます。