
No.6
- 回答日時:
A の成分表示を A = (Ax, Ay, Az) と置く。
Ax, Ay, Az は十分滑らかであると仮定する。
rot A = (∂Az/∂y - ∂Ay/∂z, ∂Ax/∂z - ∂Az/∂x, ∂Ay/∂x - ∂Ax/∂y)
より、
(rot rot A の x 成分) = (∂/∂y)(∂Ay/∂x - ∂Ax/∂y) - (∂/∂z)(∂Ax/∂z - ∂Az/∂x)
= ∂²Ay/∂x∂y - ∂²Ax/∂y² - ∂²Ax/∂z² + ∂²Az/∂z∂x.
div A = ∂Ax/∂x + ∂Ay/∂y + ∂Az/∂z
より、
(grad div A の x 成分) = (∂/∂x)(∂Ax/∂x + ∂Ay/∂y + ∂Az/∂z)
= ∂²Ax/∂x² + ∂²Ay/∂x∂y + ∂²Az/∂z∂x.
∇^2 A = div grad A なので、
(∇^2 A の x 成分) = ∂²Ax/∂x² + ∂²Ax/∂y² + ∂²Ax/∂z².
以上を使って、
(右辺の x 成分) - (左辺の x 成分)
= { ∂²Ay/∂x∂y - ∂²Ax/∂y² - ∂²Ax/∂z² + ∂²Az/∂z∂x }
- { (∂²Ax/∂x² + ∂²Ay/∂x∂y + ∂²Az/∂z∂x) - (∂²Ax/∂x² + ∂²Ax/∂y² + ∂²Ax/∂z²) }
= 0.
y 成分、 z 成分についても全く同様なので、
根性出して計算してみる。
No.5
- 回答日時:
質問文の中にある「って書けばいいんですか」の直前の式は単に書き方を変えただけであって証明でも何でもありません。
例えば∇×A=rotA
と言うのは単に「左辺の式の事を右辺のように書きます」と言うお約束であって、左辺と右辺が等しい事を証明した式ではありません。
No.2
- 回答日時:
おっと, 言葉が足りてなかった.
#1 の「なお」以降の「アウトだと思う」は
∇×(∇×A)=∇(∇・A)-∇^2A
の部分の話ね. ここでの「証明」は, 本質的にこの式を証明しろってことだろうから, これを証明なしにいきなり書いたらたぶんアウトだ.
No.1
- 回答日時:
めんどうくさいけど地道に計算すればよいのでは?
なお,
∇×(∇×A)=∇(∇・A)-∇^2A=grad divA-∇^2A
って書けばいいんですか?
はアウトだと思う. たぶんその式自体を証明しろってことだろうから.
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