これ何て呼びますか Part2

雪江代数学1の120ページの赤線の部分が分かりません。
|H×L| = |G|からどうして、赤線のような同型が成り立つのですか?

「雪江代数学1の120ページの赤線の部分が」の質問画像

A 回答 (5件)

群Gとその正規部分群Hに対して



LはGの正規部分群
L∩H={0}
L~G/H

となるようなLが存在するとき

G ~ H×L

となるのです

例えば
G={0,1,2,3}
H={0,2}
とすると
G/H の位数は2だから
G/H~H
だけれども
H∩H={0,2}≠{0}
だから
LはGの正規部分群
L∩H={0}
L~G/H
となるようなLは存在しません
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この回答へのお礼

ありがとうございます。理解出来ました。

お礼日時:2024/07/22 19:08

一般の群G,とその正規部分群Hに対して



L~G/H
となるような
Gの部分群
L
が存在するとはいえないのです
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GとH×G/Hが同型になることは、任意のG、任意のHに対して言えるなんていっていません



したがって|G|はpべきと仮定してよい,
Gが巡回群の直積になることを
|G|に関する帰納法により証明する
h∈GをGの位数最大の元
p^cをその位数とする
Gはアーベル群なので
H=<h>は正規部分群である
G/Hは有限アーベル群で
|G/H|<|G|

と書いてある通り

L~G/H
となるような
Gの部分群
L
が存在するから

L~G/H

|H×L| = |G|

だから

G ~ H×L

となるのです
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L=G/H



|H×L| = |G|

だから

G ~ H×L
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この回答へのお礼

Gを群、Hをその部分群とすると、|H×G/H| = |G|は一般に言えることだと思うのですが、と言うことはGとH×G/Hが同型になることは、任意のG、任意のHに対して言えるということなんですか?またどの様な同型写像があるのですか?

お礼日時:2024/07/22 12:13

画像の通り

「雪江代数学1の120ページの赤線の部分が」の回答画像1
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この回答へのお礼

ありがとうございます。
あと最初のGとH×Lの同型はなぜ成り立つのですか?

お礼日時:2024/07/22 08:06

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