A 回答 (4件)
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No.3
- 回答日時:
例えば
f(x)={(d-c)x+bc-ad}/(b-a)
の場合
どんな正数ε'>0に対しても
δ=ε'(b-a)/(d-c)
が存在して
a<x<bかつ
|x-x0|<δとなる任意のxに対して|f(x)-f(x0)|<ε'
が成り立つから
ある正数δ0>0に対しても
δ=δ0(b-a)/(d-c)
が存在して
a<x<bかつ
|x-x0|<δとなる任意のxに対して|f(x)-f(x0)|<δ0
が成り立つ
のです
No.2
- 回答日時:
「任意の」とは「すべての」という意味です
すべての正数ε'>0に対して成り立つならば
ある正数δ0>0に対しても成り立つのです
y0=g(x0)
すべての正数ε>0に対して
ある正数δ0>0
が存在して
y∈(c,d)かつ|y-y0|<δ0ならば|g(y)-g(y0)|<ε…(1)
が成り立つ
fの連続性の定義から
すべての正数ε'>0に対して
あるδ(ε')>0が存在してx∈(a,b)かつ|x-x0|<δ(ε')ならば|f(x)-f(x0)|<ε'
が成り立つのだから
ある正数δ0>0に対しても
あるδ(δ0)>0が存在してx∈(a,b)かつ|x-x0|<δ(δ0)ならば|f(x)-f(x0)|<δ0
が成り立つ
f(x)∈(c,d)
かつ
|f(x)-f(x0)<δ0
|f(x)-y0|<δ0
だから(1)から
|g(f(x)-g(f(x0))|<ε
が成り立つ
No.1
- 回答日時:
fのx=xoでの連続性から
任意のε'>0に対してあるδ'>0が存在し、x∊(a,b)かつ|x-xo|<δ'ならば|f(x)-f(xo)|<ε'
となることが言えます。
任意のε'>0で成り立つのですから、当然ε'=δo>0であっても上記のことは成り立ちます。任意の値で成り立つ以上、その条件を満たす特定の値に対しても成り立たつのです。
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