素数（合成数の並びの最大数）について

エラトステネスの篩を考える。
ある素数 Pn（ n番目の素数）までを考えたとき、それまでの素数で埋まる合成数の並びの最大数は、素数が無限に存在することから ( Pn * 2 - 1 ) が最大となる。

次に有名な素数判定の、平方根までを考えれば良いということから、ある数 m の合成数の並びの最大数は、その平方根 √m から ( √m * 2 - 1 ) が最大となる。
このため、ある数 m において、m から( m + ( √m * 2 - 1 )) に素数が存在すると言える。

（あるいは 素数 Pk（ k番目の素数）から( Pk + ( √Pk * 2 - 1 )) に素数が存在すると言える。）

数学に詳しい人からみれば、どこがおかしいでしょうか。あるいは正しいでしょうか。
これが正しいのならば、ルジャンドル予想も解けたことになるのですが・・

質問者からの補足コメント

• 

  『合成数の並びの数』というのは、具体的には 23 と 29 の間が 5 ということです。
  エラトステネスの篩のような考えをしていただければ。
  
  『( Pn * 2 - 1 ) が最大となる。』は『最大でも( Pn * 2 - 1 ) となる。』と書くべきでした。

    補足日時：2024/07/15 14:22

No.10 回答者： tknakamuri 回答日時： 2024/07/16 11:47

> ( Pn * 2 - 1 ) が最大となる。

「最大となる」がmによってはそういう
素数の隙間(連続する合成数の列)が存在し得るという
意味ならベルトラン・チェビシェフの定理から誤り。

「最大となる」が「以下である」という意味なら
Pn * 2 - 1 は見積もりとしてデカすぎるけど合ってる。

No.9 回答者： mtrajcp 回答日時： 2024/07/15 20:34

m=7

のとき
合成数の並びの最大数は
8,9,10
の
3以上になるはずなのに

√m=√7≒2.6…<3<4<4.29…≒2√7-1=2√m-1

√mと2√m-1の間の整数
3,4
は最大でも2にしかならないので

「
ある数 m の合成数の並びの最大数は、
その平方根 √m から ( √m * 2 - 1 ) が最大となる。
」
は間違っているのです

m=23
のとき
合成数の並びの最大数は
24,25,26,27,28
の
5以上になるはずなのに

√m=√23=4.79583…<5<6<7<8<8.591…=2√23-1=2√m-1

√mと2√m-1の間の整数
5,6,7,8
は最大でも4にしかならないので

「
ある数 m の合成数の並びの最大数は、
その平方根 √m から ( √m * 2 - 1 ) が最大となる。
」
は間違っているのです

No.8 回答者： mtrajcp 回答日時： 2024/07/15 17:33

m=23

のとき
合成数の並びの最大でも数は

√m=√23=4.79583…<5<6<7<8<8.591…=2√23-1=2√m-1

5,6,7,8
の
4は
最大でも数とはなりません

24,25,26,27,28
の
5が
最大となります

No.7 回答者： mtrajcp 回答日時： 2024/07/14 19:37

チェビシェフの定理から

x>1とすれば,xと2xとの間に必ず素数がある
から
m>1のとき
√mと2√mとの間に必ず素数があるけれども

m から( m + ( 2√m - 1 ))との間に素数があるとはいえない

No.6 回答者： mtrajcp 回答日時： 2024/07/14 09:01

P5=11

の場合
P5=11までを考えたとき、
それまでの素数
2,3,5,7
だけを持つ合成数は

2,2^2,2^3,2^4,2^5,2^6,…

と無限にあるから最大数は存在しない

No.5 回答者： mtrajcp 回答日時： 2024/07/14 04:57

素数Pnに対して

( 2Pn - 1 )以下の合成数の素因数はP(n-1)以下とはいえるけれども
それはPnと2Pnの間に必ず素数があることを示すものではない
チェビシェフの定理から
x>1とすれば,xと2xとの間に必ず素数がある
ことは
1852年にチェビシェフによって証明済み
1932年にポール・エルデシュが初等的な証明を与えた

No.4 回答者： stomachman 回答日時： 2024/07/14 00:35

最初の3行は、もしかして「n+1番目の素数はn番目の素数の2倍より小さい」という命題の主張ですかね？

ま、何であれ、証明なしに主張するのは「おかしい」ですけど。

No.3 回答者： tknakamuri 回答日時： 2024/07/13 17:01

>それまでの素数で埋まる合成数の並びの最大数は

どういう意味でしょう？

>ある数 m の合成数の並びの最大数

これも何を言っているのか全然わからない。

No.2 回答者： Tacosan 回答日時： 2024/07/13 16:03

「ある数 m の合成数の並び」とはどのように定義されていて, その「最大値」とは何で, そしてそこからどうして

ある数 m において、m から( m + ( √m * 2 - 1 )) に素数が存在する
といえるのか.

No.1 回答者： ssawatake 回答日時： 2024/07/13 14:52

>>それまでの素数で埋まる合成数

埋まるとは？曖昧過ぎて意味不明です。
P₅=11を例にとるとどういう意味なんでしょうか？？