ドモアブルの定理はサインまたはコサインの前に定数がかけられている場合(2cosθ+2isinθのよう

ドモアブルの定理はサインまたはコサインの前に定数がかけられている場合(2cosθ+2isinθのような場合）には成り立たないですか？

No.7 回答者： tknakamuri 回答日時： 2024/07/04 09:16

複素数の掛け算を一般化すると

ゼロを除く複素数は
e^(a+bi) (a, b は実数) で表されるので

e^(a+bi)・e^(c+di) = e^((a+c) + (b+d)i)

a=c=0 の場合
e^(bi)・e^(di) = e^((b+d)i)

これを cos sinでばらすと

(cosb + isinb)・(cosd + isind) = cos(b+d) + isind(b+d)

これから
(cosb + isinb)^n = cosnb + isinnb
は容易に導けます。

結局、掛け算は指数の和という実数で成り立つ指数法則が
複素数でもそのまま成り立つということです。

(2cosθ+2isinθ)^n = {e^(log2 + iθ) }^n
= e^(nlog2 + inθ) = 2^n・(cosnθ + isinnθ)

ですから、ドモアブルにはそのまま当てはまらないけど
より上位の定理には当てはまります。

形としては
z1 = r1(cosθ1, isinθ1) (r1は非ゼロの実数, θ1は実数)
z2 = r2(cosθ2, isinθ2) (r2は非ゼロの実数, θ2は実数)
z1z2 = r1r2(cos(θ1 + θ2) + isin(θ1+θ2))
z1^n = r1^n(cos(nθ1) + isin(nθ1))
#複素数の掛け算は絶対値の積で偏角の和

が使いやすいと思います。

No.6 回答者： ありものがたり 回答日時： 2024/07/01 18:14

XYじゃなくてθがいいの

オイラーの式に焦がれて
見た目より少し覚えやすい
公式が先走る
青いチャートのまま
ドモアブルー

No.5 回答者： tknakamuri 回答日時： 2024/07/01 17:47

式変形に応用することは容易だけど

質問の「成り立たない」というのが
何を言いたいのかよくわからない。

ドモアブルは
(cosθ + i・sinθ)^n = cosnθ + i・sinnθ

だけど、どうなったら「成り立つ」と考えているのでしょう？

(r・cosθ + i・r・sinθ)^n = r^n(cosnθ + i・sinnθ)

で「成り立つ」と言えないなら成り立たないのでしょうけど
十分役に立ちます。質問の趣旨が見えないです。

数式の変形に役立つなら「成り立つ」でしょうか？

No.4 回答者： mtrajcp 回答日時： 2024/07/01 16:03

acosθ+aisinθ

の場合は
acosθ+aisinθ=a(cosθ+isinθ)
だから
(acosθ+aisinθ)^n
=(a^n)(cosθ+isinθ)^n
=(a^n){cos(nθ)+isin(nθ)}

acosθ+bisinθ
の場合は

x=acosθ
y=bsinθ
r=√(x^2+y^2)
(x/r)^2+(y/r)^2=1
だから
cosα=x/r
sinα=y/r
となるようなαがある

acosθ+bisinθ=r(cosα+isinα)
だから
(acosθ+bisinθ)^n
=(r^n)(cosα+isinα)^n
=(r^n){cos(nα)+isin(nα)}

No.3 回答者： masterkoto 回答日時： 2024/07/01 15:27

訂正

n＝１ではなくて
r＝１としたものが
ド・モアブルの定理

No.2 回答者： masterkoto 回答日時： 2024/07/01 15:23

極形式の積の性質を理解しておけば、ご質問の手がかりなります

性質:
複素数Z₁とZ₂の積Z₁Z₂は
その大きさが│Z₁││Z₂│となり
偏角は、Z₁の偏角とZ₂の偏角の和になる
これを抑えていれば
(rcosθ+ｉrsinθ)ⁿ
＝{r(cosθ+ｉsinθ)}ⁿ
は大きさがr、偏角がθである複素数n個分の積ですから、積はその大きさがrⁿとなり、偏角がnθとなることがすぐにわかると思います
すなわち
(rcosθ+ｉrsinθ)ⁿ
＝{r(cosθ+ｉsinθ)}ⁿ
＝rⁿ(cosnθ+ｉsinnθ)
そして、この式においてn＝１としたものもがド・モアブルの定理となってますよね

No.1 回答者： rnakamra 回答日時： 2024/07/01 15:00

(a*cosθ+a*i*sinθ)^n={a*(cosθ+i*sinθ)}^n=a^n*(cosθ+i*sinθ)^n

=a^n*{cos(nθ)+i*sin(nθ)}
となります。
定数が頭につけば全体がその定数のn乗倍になります。