三角関数の合成 何故コサインの係数は縦の軸でサインは横の軸なのですか

三角関数の合成


何故コサインの係数は縦の軸でサインは横の軸なのですか

No.5 回答者： tknakamuri 回答日時： 2023/03/09 08:22

角度の加法定理の話だろうか?

Acosθ+Bsinθ=√(A²+B²){{A/√(A²+B²)}cosθ+{B/√(A²+B²)}sinθ}
=√(A²+B²)sin(θ+α)
A/√(A²+B²)=sinα
B/√(A²+B²)=cosα

と書けるし

=√(A²+B²)cos(θ+β)
A/√(A²+B²)=cosβ
B/√(A²+B²)=-sinβ
ともかける。

sinにまとめるかcosにまとめるかで
基準の位相が90°異なるから
係数の意味づけが異なってくる。
後者だとCOSの係数が横。

No.4 回答者： ありものがたり 回答日時： 2023/03/08 21:43

cos の加法公式を内積を使って書くと

cos(α+β) = cosαcosβ - sinαsinβ
　　　　　= (cosα,sinα)・(cosβ,-sinβ)
　　　　　= (cosα,sinα)・(cos(-β),sin(-β))
と書けます。 右辺を見ると
(cosα,sinα) と (cos(-β),sin(-β)) は、
どちらも長さが 1 のベクトルで
なす角は ｜α-(-β)｜ = ±(α+β) のどちらかです。
なす角が ± のどちらかは判りませんが、
どちらにしろ、なす角の cos は cos(α+β) ですね。
つまり、cos の加法定理は内積の計算
内積 = 長さ・長さ・cosなす角 そのものなんです。

cos の係数が cos, sin の係数が sin である理由は、
内積の成分計算 (x,y)・(a,b) = ax+by にあります。

No.3 回答者： yhr2 回答日時： 2023/03/08 20:44

三角関数の合成とは

Asinθ + Bcosθ
= [√(A^2 + B^2)]{[A/√(A^2 + B^2)]sinθ + [B/cosθ√(A^2 + B^2)]cosθ}

として、
　cosφ = A/√(A^2 + B^2)]　　　①
　sinφ = B/√(A^2 + B^2)]　　　②
となる φ を使って

= [√(A^2 + B^2)]{cosφ･sinθ + sinφ･cosθ}　　←③
= [√(A^2 + B^2)]sin(θ + φ)

とすることですよね？

タテもヨコもなくて、上のように変形するだけです。

あなたは、③式において、cosφ を「サインの係数」、sinφ を「コサインの係数」と呼び、その「φ を表す単位円（直角三角形）」で「コサインの係数」である ②sinφ を「縦の軸」、「サインの係数」である ①cosφ を「横の軸」言っているのでしょうか？

No.2 回答者： ミラ-_- 回答日時： 2023/03/08 20:42

一般に、コサインは、隣辺を斜辺で割った比率であるため、横軸に角度、縦軸に比率をとると、グラフは横軸に平行に描かれます。

一方、サインは、対辺を斜辺で割った比率であるため、横軸に角度、縦軸に比率をとると、グラフは縦軸に垂直に描かれます。

したがって、コサインの係数は横軸方向の拡大縮小を表すため、縦軸方向のサインに比べて横軸方向に対する変化が大きくなります。そのため、コサインの係数は横軸方向、サインの係数は縦軸方向に適用されることが多いのです。

No.1 回答者： hectopascal 回答日時： 2023/03/08 20:21

斜辺分の底辺だからですか

cosine