矛盾と両立

ある二つの命題AとBがあり、二つとも真で、両者が真であることが矛盾もしていないとしても、両立することはない、ということはあるのでしょうか？
具体例を挙げます。
空集合φが任意の集合Sの部分集合であるかどうかについて、二つの命題が成り立つと思われます。
Ⅰ.x∉S⇒x∉φ対偶をとりx∈φ⇒x∈S
Ⅱ.x∈S⇒x∉φ対偶をとり、x∈φ⇒x∉S
ⅠはφがSの部分集合であるという主張、ⅡはφがSの部分集合でないという主張で両者とも真です。
ここで、対話型AIにこのことについて質問してみました。
「ⅠとⅡは両者とも真であるのだから、つまり、二つは両立するのか？」
『いいえ、両立はしない。Ⅱは真であるが、Ⅰと矛盾せず、従って、ⅠのφがSの部分集合であるという命題が成立する』
「しかし、ⅡがⅠと矛盾しないということは、逆に言えば、ⅠがⅡと矛盾せず、従って、ⅡのφがSの部分集合でないという命題が成立するということもできる。したがって、両者は両立するともいえるのではないか？」
『いいえ。両立はしない。ZF 集合論においては、φがSの部分集合であるという命題が真となる』
「ということは、Ⅱが真というのはZF集合論においては論理的に成り立たないのか？」
『いいえ、２が真であるというのはZF集合論においても真である』
「では、両者とも同じ集合論の中で真であるのだから、やはり両立するといえるのではないか？」
『いいえ。Ⅱが真であることはⅠと矛盾せず、ZF集合論において、φがSの部分集合であることが成立する』
あとは、これの繰り返しとなりました。
そこで、最初の疑問になるわけです。二つの命題が真であり、矛盾もしていないにもかかわらず、両立しないなどということはあるのでしょうか？どうもAIの推論力というか論理展開力というべきか、がまだ不十分で、習得したデータをうまく組み合わせているだけだから、こんな返答になるのではないか？と思えるのですが…。しかし、即断は禁物でしょう。ひょっとして、数学、論理学には、たがいに矛盾しないで真である二つの命題がしかし、両立はしない場合があり得るのかもしれない。
互いに矛盾しないということと両立は厳密には異なる概念なのでしょうか？

No.5 回答者： mtrajcp 回答日時： 2024/07/24 16:42

ⅡはφがSの部分集合でないという主張ではありません

間違っています

Ⅱ.x∈φ⇒x∉S
は
Ⅰ.x∈φ⇒x∈S
の
否定ではありません

(x∈φ⇒x∈S)の否定は

(φがSの部分集合でない)
=～(x∈φ⇒x∈S)
=～{(x∉φ)v(x∈S)}
={～(x∉φ)}Λ{～(x∈S)}
=(x∈φ)Λ(x∉S)
=(偽)

Ⅱ(φが(-S)の部分集合である)
=(x∈φ⇒x∉S)
=(x∉φ)v(x∉S)
=(真)


Ⅱはφが(-S)の部分集合であるという主張です

Ⅰ.x∉S⇒x∉φ対偶をとりx∈φ⇒x∈S
Ⅱ.x∈S⇒x∉φ対偶をとり、x∈φ⇒x∉S
ⅠはφがSの部分集合であるという主張、
Ⅱはφが(-S)の部分集合であるという主張で
両者とも真です。

ⅠとⅡは両者とも真であるのだから、
つまり、二つは両立する
従って、
φはSの部分集合である
かつ
φは(-S)の部分集合である
と
いう命題が成立する

φ=S∩(-S)

φ=S∩(-S)⊂S →φ⊂S
φ=S∩(-S)⊂(-S)　→φ⊂(-S)

No.4 回答者： mtrajcp 回答日時： 2024/07/23 09:03

ⅡはφがSの部分集合でないという主張ではありません

間違っています
x∈φ⇒x∉S
というのは(x∈φ)かつ(x∉S)となるという意味ではありません
x∉φ　または　x∉S
という意味なのです
一般に
A⇒B
というのは
(Aではない)または(Bである)
という意味なのです

Sの補集合を-Sとすると

Ⅱ.
x∈φ⇒x∉S
↓
x∈φ⇒x∈(-S)
↓
φ⊂(-S)

ⅡはφがSの補集合(-S)の部分集合であるφ⊂(-S)という主張です

φ=S∩(-S)
だから

Ⅰ.φ⊂S
Ⅱ.φ⊂(-S)
の
両方とも真で両立する

No.3 回答者： mtrajcp 回答日時： 2024/07/23 05:35

ⅡはφがSの部分集合でないという主張ではありません間違っています

ⅡはφがSの補集合(-S)の部分集合であるφ⊂(-S)という主張です

Ⅰ.φ⊂S
Ⅱ.φ⊂(-S)

φがSの部分集合でないという主張は偽だけれども
φがSの補集合(-S)の部分集合であるφ⊂(-S)という主張は真です

No.2 回答者： mtrajcp 回答日時： 2024/07/23 04:15

Ⅱ.x∈S⇒x∉φ対偶をとり、x∈φ⇒x∉S

Ⅱは
φがSの部分集合でないという主張ではありません
Ⅱは
φがSの補集合の部分集合であるという主張です

φがSの部分集合でないという主張は
(x∈φ)かつ(x∉S)となるxが存在するというもので
(x∈φ)となるxは存在しないから偽です

No.1 回答者： ありものがたり 回答日時： 2024/07/22 22:32

あいかわらず、対話型AI の答えはちゃらんぽらんだなあ。

ネットに流れている文章を、内容も理解せずに適当に
切り取って継ぎ合わせるから、そんないー加減な答えになるんですよ。

まず、「命題」「両立する」「矛盾する」という言葉の定義を
きちんと確認してから話を始めてますか？
命題とは、自由変項を含まない述語のこと。
x∈S や x∈φ は、述語であって、命題ではありません。
A, B が命題のとき、 A と B が両立するとは、単に A∧B が真であること。
述語 A(x), B(x) が両立するとは、命題 ∃x,A(x)∧B(x) が真であること。
命題 A, B が矛盾するとは、 ¬(A∧B) が真であること。
述語 A(x), B(x) が矛盾するとは、命題 ¬(∃x,A(x)∧B(x)) が真であること。

定義よりただちに、命題 A, B がともに真であれば、
A, B は両立します。 ∧ の定義から明らかですね。