大変！！またまた我が家の新築の豪邸にネズミが出ました！ちょうどエクササイズ中だったので、フラフープを

大変！！またまた我が家の新築の豪邸にネズミが出ました！ちょうどエクササイズ中だったので、フラフープをぶん投げました。
はなれたところから観察していると、ネズミは床に落ちたフラフープに沿って激しく反時計回りに等速円運動しています。
殺鼠剤が使えないので(幼児がおり口にしてしまいそう)、フラフープめがけネズミ忌避効果のあるアロマオイルかけようと思うのですが、高価なアロマオイルなので一滴しか使いたくありません。
また、はなれたところからアロマオイルを一滴だけ発射するので残念ながら狙うことはできません。フラフープの周上の一点に無作為にアロマオイルが付着します。
ネズミはアロマオイルの付着した箇所からその箇所におけるフラフープの接線へと進路を変更し、勢いを維持したまま接線上を直進して我が家自慢の広大な壁へと到達するものと予想されます。
そこで、あらかじめ壁に粘着テープを貼っておき、逃げてきたネズミを捕獲しようと思うのですが、ネズミを捕獲する確率を最も高めるには、粘着テープをどこに貼ればよいでしょうか？

以前薄汚いドブネズミが出たときにも緊急で質問させていただいたのですが、よく分からないままネズミはどこかへ消えてしまいました。
当然ながら、今回こそは粘着テープを貼る位置を極めて正確に知りたいと願っています。そのために数学カテゴリで質問しております。数学的に根拠のある回答をよろしくお願いします。

もちろん、粘着テープを貼る位置を表現される際は、
フラフープをx^2+y^2=1、壁をx=a(≧1)、粘着テープの長さをd(>0)
として回答していただいてかまいません。

No.3 ベストアンサー 回答者： stomachman 回答日時： 2024/08/03 10:36

qa/13864689 の延長戦、計算してみました。

　記号は図の通り。K₀とK₁を通る赤の直線が「壁」で、長さdの「粘着テープ」は点K₁から点K₂の範囲に貼るものとすると、「a, dを与えて2θを最大にするK₁（この点はK₀からt₁だけ離れている)を求む」という問題だと解釈しました。

[1]これをまずは「a, θを与えてdを最小化するφを求む」という問題として解くことにします。そうすれば、dを最小化するφと、最小化されたdとがそれぞれa, θの関数として表せて、その逆関数を考えれば当初の問題が解ける（ハズ）。で、まずは少なくとも
　　0＜θ＜π/2, |φ|＜π/2 - θ
を満たさないと題意に沿わない。
[2] φ,θの関数として
　　d ＝ t₂ - t₁
を表現すると、
　　t₁ ＝ (1 - a sin(θ - φ))/cos(θ - φ)
　　t₂ ＝ (1 + a sin(θ + φ))/cos(θ + φ)
[3]dが最小になるようなφを、θの関数として表現したいわけです。そこで
　　∂d/∂φ ＝ 0
を解く。
　　∂t₁/∂φ ＝ {a - sin(θ - φ)}/(cos(θ - φ))²
　　∂t₂/∂φ ＝ {a + sin(θ + φ)}/(cos(θ + φ))²
より
　　∂d/∂φ ＝ {a + sin(θ + φ)}/(cos(θ + φ))² - {a - sin(θ - φ)}/(cos(θ - φ))²
そこで
　　F ＝ a{(cos(θ - φ))² - (cos(θ + φ))²} + {(cos(θ - φ))²sin(θ + φ) + (cos(θ + φ))²sin(θ - φ)}
とおいて
　　 F ＝ 0
を解けばいいですね。展開して
　　F ＝ 2(2a cosθsinφ + (cosθ)² + (sinφ)²) sinθcosφ
ここで[1]の制約から sinθcosφ ≠ 0 だから
　　2a cosθsinφ + (cosθ)² + (sinφ)² = 0
を(sinφ)の二次方程式として解けばF ＝ 0の解が得られる。結果は
　　sinφ = -a cosθ ± |cosθ|√(a² - 1)
となるけれども、2つの解のうち一方は図の青の半直線と交差しない「壁」を表しています。さらに、cosθ>0である。なので結局、dを最小化するφは
　　sinφ = -(a - √(a² - 1))cosθ
[4] 定数
　　U = a + √(a² - 1)
　　V = a - √(a² - 1)
を導入すると、最小化されたdは
　　d = U tanθ
と表せる。明らかにU＞0, V＞0です。
[5] やっと本題に進みます。今度はa, dを定数だと思えば
　　tanθ = d/U
　　sinφ = -Vcosθ
さらに定数
　　W = √(d² + U²)
　　X = √(d² + U² - 1)
を導入すると
　　sinθ = d/W
　　cosθ = U/W
　　sinφ = -1/W
　　cosφ = X/W
なので[2]から
　　t₁ = (W² - a(Xd + U))/(UX - d)
　　t₂ = t₁ + d
と決まった。φ＜0であり、t₁ ＜ 0 ＜ t₂ です。
　例によって計算間違いしてるカモですが。

この回答へのお礼

ありがとうございます。
正直私には[1]の理屈がよく分かりませんが、それよりあとに書いてあることは納得しました。
考えていただきありがとうございました。

お礼日時：2024/08/04 10:55

No.5 回答者： stomachman 回答日時： 2024/08/05 14:28

No.3[1]の説明が手抜きだったかしらん。

aを定数として、θとφを決めたときに必要な粘着テープの長さをD(θ,φ)と表すことにする。
　　D(θ,φ)= t₂ - t₁
　さて、あるθにおいてD(θ,φ) が最小になるφをΦ(θ)とすると、ご質問は「D(θ,Φ(θ))=d という制約のもとでθを最大にしたい」ってことであり、言い換えれば「θに関する方程式
　　D(θ,Φ(θ)) = d
の解のうち最大なのをΘ(d)とするとき、Φ(Θ(d))を求む」という話。

No.4 回答者： snowdrop.4156 回答日時： 2024/08/03 16:24

ゴキブリや、ネズミを駆除する

（寄せ付けない）
電気で周波数をだし、駆除してくれるの
通販で売ってあります。
たしか、1個2000円くらいでした。

No.2 回答者： ogi_3 回答日時： 2024/08/03 10:05

数学で解ける問題か？？

No.1 回答者： 河内のおやじ 回答日時： 2024/08/03 09:32

うちはこれで捕獲しました。