確率の問題で質問です。 サイコロを3回続けて投げる時、出る目の最大値が4である確率について、一発の計

確率の問題で質問です。
サイコロを3回続けて投げる時、出る目の最大値が4である確率について、一発の計算で求めるにはどうすればいいでしょうか。

No.7 回答者： tsuyoshi2004 回答日時： 2024/09/17 11:54

３回振ったサイコロの３回の目の中で最大が４になるという問題だとすると、

最大が４になるということを言い換えると、
最大値が４以下（全ての目が４以下）であり、かつ最大値が３以下ではない（全ての目が３以下ではない）ということです。
ということで求める確率は
（全ての目が４以下になる確率）ー（全ての目が３以下になる確率）となります。

全ての目が４以下になる確率は、（４／６）＾３＝６４／２１６
全ての目が３以下になる確率は、（３／６）＾３＝２７／２１６
したがって、最大値が４になる確率は６４／２１６ー２７／２１６＝３７／２１６となります。
もちろん一発の計算でということであれば、
（４／６）＾３ー（３／６）＾３＝３７／２１６
です。

ただし、この考え方を瞬時に思いつくのは知らなければ難しいかもしれません。
そうであれば、＃６さんのように地道に漏れや重複がないように計算するのが一番早いかもしれません。

No.6 回答者： yhr2 回答日時： 2024/09/13 09:45

問題文の日本語をしっかりと読解しないといけないけど、おそらく

(1) ３回のうち、最低１回は「４」が出る。
(2) 残りの２回は「４以下」であればよい。
ということなのでしょう。

どういう「目の出方」の組み合わせならそうなるかといえば

(a1) １回目に「４」、２回目・３回目は「４以下」
(a2) ２回目に「４」、１回目・３回目は「４以下」
(a3) ３回目に「４」、１回目・２回目は「４以下」

この「目の出方」は
　3C1 × 1 × 4 × 4 = 48 とおり

でもよさそうですが、これだと「３回とも『４』の目」や「２回『４の目』が出る」ケースをダブってカウントすることになります。
ダブるのは
・３回とも『４』の目：(a1)～(a3) の各ケースで１とおりずつ→計３とおり
・２回『４』の目（残りの１回は「１～３」のいずれか）：(a1)～(a3) の各ケースで６とおりずつ→計18とおり
なのでこれを差し引き、あらためて

・３回とも『４』の目：全体で１とおり
・２回『４』の目（残りの１回は「１～３」のいずれか）：全体で 3 × 3 = 9 とおり
を加えて

　48 - 21 + 1 + 9 = 37 とおり

そんな面倒なことをするぐらいなら、最初から

(b1) １回目に「４」、２回目・３回目は「３以下」
(b2) ２回目に「４」、１回目・３回目は「３以下」
(b3) ３回目に「４」、１回目・２回目は「３以下」

この「目の出方」は
　3C1 × 1 × 3 × 3 = 27 とおり

を計算して、これに
・３回とも『４』の目：全体で１とおり
・２回『４』の目（残りの１回は「１～３」のいずれか）：全体で 3 × 3 = 9 とおり
を加えて
　27 + 1 + 9 = 37 とおり

とするのがよさそうです。

いずれも「一発の計算」では無理なので、論理的にひとつひとつ、「全部を網羅したか（抜けはないか）、ダブりはないか」と確認しながら進めるのがまっとうなやり方です。
数学って、そういう「試行錯誤しながら、解き方を探していく」ものなのです。論理的、客観的に、ドンくさく。

No.5 回答者： tknakamuri 回答日時： 2024/09/13 08:49

>出る目の最大値が4である確率

max(1回目の目、2回目の目、3回目の目) = 4

と解釈するのが妥当だと思うよ。

>「出る目が４以下である確率」
は
1回目の目　≦ 4　かつ 2回目の目　≦ 4 かつ 　3回目の目 ≦ 4)
= max(1回目の目、2回目の目、3回目の目) ≦ 4

でだいぶ意味が違う。

No.4 回答者： gootarohanako 回答日時： 2024/09/13 07:52

「出る目の最大値が4である確率」と「出る目が４以下である確率」とどう違うの？？同じ意味なら、

(4/6)^3＝(2/3)^3=8/27
では？

No.3 回答者： tknakamuri 回答日時： 2024/09/13 07:34

一発で計算というのは無いかな。

やり方(1)
①全て4以下 4^3=64通り
②全て3以下 3^3=27通り

①のうち4を1回以上含むのは ①―②=37通り。

全部で6^3=216通りだから
37/216

やり方(2)
①全て4 1通り。
②4が2回、他は3以下
3C2×3=9通り
③4が1回、他は3以下
3C1×3^2=27通り
①十②十③=37通り。

全部で6^3=216通りだから
37/216

No.2 回答者： masterkoto 回答日時： 2024/09/12 17:33

求めるべき確率

＝全ての回で4以下の目が出る確率
-全ての回で3以下の目が出る確率
＝（4/6）³-（3/6）³
＝37/216

No.1 回答者： angkor_h 回答日時： 2024/09/12 17:32

> 出る目の最大値が4である確率について、

この意味は？
出る目が4である、との違いは？
出る目の最大値が4である、と言うサイコロは無いので。

条件が明確でないと、誰も解答はできません。