高校物理で、長くなってしまいますが教えてもらえるとうれしいです。 問題(単振動)で、軽いバネを鉛直に

高校物理で、長くなってしまいますが教えてもらえるとうれしいです。

問題(単振動)で、軽いバネを鉛直に立てて床に固定し、その上に質量Mの板Aをつけ、その上に質量mの物体Bをのせた。
A、Bは鉛直方向のみに運動するとする。
AとBは自然長からl縮んだところで静止した。
釣り合いの位置からさらにAをLだけ押し下げて話したところ、Aと Bは一体となって単振動した。
Aの釣り合いの位置からの変異をx(上向きを正)、A、Bの加速度をa、AがBに及ぼす垂直抗力の大きさをN、重力加速度の大きさをg、バネ定数をｋとして、A、Bそれぞれの運動方程式をたてよ。

このような問題で、答えがA:Ma=k(l-x)-N-Mg、B:ma=N-mgになります。この意味が全くわかりません。私は、この理解がおかしいのかもしれませんが、単振動の符号は変異が正の時に加速度がマイナス方向に、変異が負の時に加速度がプラス方向になるからだと思っていました。だから、単振動は一定方向ではなく上下に運動するのですから、maとkxの符号はわかっても(同じになる)、N、MgまたはmgとMaまたはmaの符号は変異の正負によって変わってしまうのではと思うのです、なので今回Aの式でN,Mgがマイナスになり、Bの式でNがプラスでmgがマイナスになることが不思議です。
どなたか教えてください。

No.5 回答者： tknakamuri 回答日時： 2024/09/17 08:13

>今回Aの式でN,Mgがマイナスになり、

>Bの式でNがプラスでmgがマイナスになることが不思議です。

上向きが正で
Aは垂直抗力と重力を下向きに受けます。
Bを垂直抗力を上向きにうけ、重力を下向きに受けます。
当然そうなる筈です。

>maとkxの符号はわかっても(同じになる)、
>N、MgまたはmgとMaまたはmaの符号は変異の正負によって
>変わってしまうのではと思うのです

奇妙奇天烈です。
垂直抗力や重力の向きが変位の正負によってどうやって
変わるのでしょう？

変位によっては重力はものを「上へ押す」と本気で考えてる？？？
わけわかんない考え方です。

No.4 回答者： syotao 回答日時： 2024/09/15 12:21

まず重力はいつも鉛直下向きだから上向きを正とすると

A、Bの式において、－Mg、－ｍg　です。
つぎにAがBをのせていっしょに運動するときは
AとBはお互いに押し合う力しか働きません、なので
AがBに及ぼす垂直抗力がNならばそれは上向きだから
Nはたえず正です、よってBがAに及ぼす抗力はいつも下向きだから
－Nです。よってA、Bの方程式はそのようになります。
最後に、最初のつり合い条件ではｘ＝0、a＝0　なので方程式は
0＝ｋl－N－Mg、0＝N－ｍg　これからkl＝(M＋m)g
最初のA、Bの式を辺々加えてkl＝(M＋m)gとから
(M＋m)a＝－kｘが出てきて
運動がｘ＝0を中心とする周期2π√(M+m)/k　
の単振動ということになります。

No.3 回答者： yhr2 回答日時： 2024/09/14 13:49

No.1&2 です。

ちょっと書き忘れ。

垂直抗力 N は、「ＢがＡを押す力」の反作用なので「上向き」つまり N ≧ 0 を想定しています。
N < 0 ということは、「ＢがＡを押していない」つまり「ＡとＢが離れている」ことを意味します。ただし、実際に N < 0 となることはなく、「ＡとＢが離れている」ときには N=0 を維持します。
おそらく、お示しの問題では、Ａ・Ｂがバネの「自然長」よりも上に行けば、N=0 の状態になって「Ｂ」が「Ａ」から離れるはずです。

エレベータのワイヤーが切れて自然落下するときには、足に対する「エレベータ床面」からの垂直抗力は「0」になり、ふわっと浮きます。
もし、エレベータが「重力加速度以上」の加速度で落下すれば（落下方向にロケット噴射）、体は床ではなく「天井」に貼り付きます。このとき、床からの垂直抗力は「0」のままで「マイナス」にはなりません。
（天井がなければ、エレベータだけが加速して落下していき体は空中に取り残されて自然落下を続けます）

No.2 回答者： yhr2 回答日時： 2024/09/14 12:38

No.1 です。

質問者さんの他の質問とあわせて考えると、ここではすべてを「鉛直方向１次元上のベクトル」として考えて、
「上向き：正」
「下向き：負」
と考えるということです。
「力の向き」も「加速度の向き」も、正・負両方の値をとります。

一方、定数として与えられている
　k（ばね定数）、Ｌ（つり合い位置までの長さ）、g（重力加速度）などは「正の値を持った定数」として考えます。
その場合には、例えばバネの復元力
　Ｆ = -kx
で、「F と x は、正負の値をとり得るベクトル」として扱うことになるし、「ばね定数 k」は「正の値を持った定数」として扱うことになります。

そういう「考え方の基本」をきちんと理解していないことが、混乱のもとだと思います。

No.1 回答者： yhr2 回答日時： 2024/09/14 12:31

＞答えがA:Ma=k(l-x)-N-Mg、B:ma=N-mgになります。

この意味が全くわかりません。

＞N、MgまたはmgとMaまたはmaの符号は変異の正負によって変わってしまうのではと思うのです、なので今回Aの式でN,Mgがマイナスになり、Bの式でNがプラスでmgがマイナスになることが不思議です。

何が不思議、意味が分からないのでしょうか?
「すべての力を書き出す」ことが基本中の基本です。
ここでは「A」と「B」を独立した別個のものとして扱うので、各々にどんな力が働いているかを「すべて」書き出しましょう。

すべての力を書き出せれば「それらの合力：F」と「運動の変化 = 加速度：a」の関係を
　F = ma
の形で記述できます。それが「運動方程式」です。

Ａに働く力

・Ａ自身の重力：下向きで、大きさが Mg なので、ベクトルとしての力は
　　F1 = -Mg　　　　①

・バネからの力（バネに固定しているので、「引張力」「押し力」の両方が働く。
　バネ自身の中立位置は「自然長」であり、A+B のときに L だけ縮んだということは
　-Mg + (-mg) = -kL
→　k = (M + m)g/L
ということです。
　バネはここでつり合っているので、そこからの運動は
　・バネが縮んだとき、つまり x<0 のとき、復元力は上向き（正）で
　　-kx (>0)
　・バネがつり合い位置より伸びたとき、つまり x>0 のとき、復元力は下向き（負）で
　　-kx (<0)
ということになります。
　ということで、ばねから受ける力は
　・つり合い位置でつり合うための復元力：kL (>0)
　・そこからの変位に伴う復元力：-kx（正と負の両方があり得る）
を合わせて
　　F2 = kL - kx = k(L - x)　　　②
になります。

・上からの「B からの力」が下向きに
　　F3 = -N　　　　③
（静止していれば N = mg >０ なのだが、加速度運動するのでそうはならない。この力の反作用が「垂直抗力」になる）

これ以外に、Ａに働く力はありますか？
なければ、「上向きを正」とするので、「上向きを正とする加速度」を a として、運動方程式は
　Ma = F1 + F2 + F3 = -Mg + k(L - x) - N　　　④
になります。

もし「意味が分からない」というのなら、ひとつひとつの力をもう一度吟味してみてください。


次に、Ｂに働く力

・Ｂ自身の重力：下向きで、大きさが mg なので、ベクトルとしての力は
　　f1 = -mg　　　　⑤

・バネからの力は、Ｂには直接働きません。

・下からの「Ａ からの力」は上向きの「垂直抗力」ですから
　　f3 = N　　　　⑥
（静止していれば N = mg >０ なのだが、加速度運動するのでそうはならない。加速度 a で運動していれば N = mg + ma。エレベータや電車で「加速中」のことを考えてみてください）

これ以外に、Ｂに働く力はありますか？
なければ、ＡとＢが一体で離れずに運動している範囲では加速度が等しいので、運動方程式は
　ma = f1 +f3 = -mg + N
になります。
（注：上でいった N = mg + ma になっていますね）

もし「意味が分からない」というのなら、こちらもひとつひとつの力を吟味してみてください。