無限等比級数で初項が0のとき和は0となりますが、なぜこれを収束と言うのでしょうか。問題集に初項が0の

無限等比級数で初項が0のとき和は0となりますが、なぜこれを収束と言うのでしょうか。問題集に初項が0のとき0に収束とかいてありましたが、そもそも収束とは何かの値に近づくときのことではないのですか、
そうすると初項0のときはずっと0なので収束とはちがうような気がします

No.6 回答者： tknakamuri 回答日時： 2024/09/24 09:24

>そもそも収束とは何かの値に近づくときのことではないのですか、

高校では収束の定義は曖昧ですが、大学の「極限」の定義は
「何かの値に近づく」ではありません。

それは大学で学んでいただくとして、

「何かの値に近づく」は
・その値とは少し違う値を常に取りながら
　次第にずれ（振れ幅）を減らしてゆく。
・その値とは少し違ったり、一致したりしながら
　次第にずれ（振れ幅）を減らしてゆく。
・最初からその値と一致していて、ずれ（振れ幅）は無い

などが考えられます。

（振れ幅）がゼロという場合だけ別物とみてしまうと、
微積分などでたいへん不便なことになるので、
数学では「近づく」に含めるのが普通です。

No.5 回答者： ありものがたり 回答日時： 2024/09/24 08:32

高校の教科書の「近づく」って表現がわかりにくい

って話かな？
あなたが違うように感じるかどうかは別として、
それも「収束」に含まれるんだ ということを知っとく
しかないでしょう。
収束とは何か を知るってのは、そういうことだから。
数学は数学でそこにあるのに、自分の理屈を言っても
意味ありませんよ。

No.4 回答者： finalbento 回答日時： 2024/09/23 21:44

ちなみに大学の数学に出て来る「数列の収束」の本当の定義は以下の通りです。

任意の正の数εに対し、ある自然数Mがあって、M以上のすべての自然数nについて

|an-α|<ε

が成り立つ時に「数列{an}が数αに収束する」と定義します。

分かるような分からないようなで頭がこんがらがりそうだったかもしれませんが、高校数学の説明にあった「限りなく近付く」と言う表現がない事はお分かりいただけたでしょう。つまり収束の定義に「近付く」などと言う曖昧な概念は必要ないわけです。

PS:質問文で考えているのは級数の収束でしたが、級数の収束は数列の収束に読み替える事ができます。

No.3 回答者： finalbento 回答日時： 2024/09/23 21:36

恐らく高校数学での説明の「限りなく近付く」と言う文言に引っかかっておられるんでしょうね。

まず収束で最も大事な事は「発散しない」と言う事です。この「発散しない」と言うのはものすごく大事な性質で「発散してしまうために計算できなくなる」と言う事例はたくさんあります。なので収束と言う考え方か見れば「発散しないものは全部収束」と言う事にしたいと言うのが数学を作る側の考え方です。そう言う意味では「ドンピシャである値になる」と言うのは収束の鏡のようなものです。「近付く」などと言った曖昧な部分がないわけですから。

なので収束については「◯◯に近付く」と言う場合だけでなく「ドンピシャ◯◯と言う値である」と言う場合も含まれると単純に考えておけばいいと思います。

No.2 回答者： mtrajcp 回答日時： 2024/09/23 21:09

任意のε>0に対して

ある自然数n0が存在して
n>n0となる任意の自然数nに対して
|a(n)-b|<ε
となるとき
数列a(n)はbに収束するという

すべてのnに対してa(n)=0ならば

任意のε>0に対して
自然数1が存在して
n>1となる任意の自然数nに対して
|a(n)-0|=0<ε
となるから
数列{a(n)=0}は0に収束する

No.1 回答者： Tacosan 回答日時： 2024/09/23 20:42

「収束」の定義を再確認すべし.

この回答へのお礼

ぼくが調べた定義では項が大きくなってくほど近づく値となってました。まだ高校生なので厳密な定義はよくわかってません。詳しく教えてくだるとありがたいです

お礼日時：2024/09/23 20:50