xy平面上の点P(x,y)に対し,点Q(X,Y)をX=x+y,Y=x^2y+xy^2で定める

xy平面上の点P(x,y)に対し,点Q(X,Y)をX=x+y,Y=x^2y+xy^2で定める
(1)Pがxy平面全体を動くときQの存在する領域をXY平面で求めよ (2)Pが領域x^2+y^2≤2を動くとき,Qの存在する領域をXY平面で求めよ

の(2)が私のやり方だと何故違ってしまうのか教えて欲しいです。
与式より、Xx^2-X^2x+Y=0
{x^2±√(X^4-4XY)}/2X…① 且つ
(2)の条件より y^2≦2-x^2
よって 2-x^2≧0
-√2≦x≦√2
よって-√2≦x≦√2の範囲で①の解があれば良いので
{x^2+√(X^4-4XY)}/2X≧√2
又は
{x^2-√(X^4-4XY)}/2X≦-√2

でやったらどうしても正解と違う回答になってしまいます。
何がいけないのでしょうか？

ちなみに正解は(1)の答えの
x>0のときY≦X^3/4
x<0のときY≧X^3/4
且つ、
X>0のとき Y≧X^3/2-X
X<0のとき Y≦X^3/2-X

(1)は解けました。模範回答も持っています。

質問者からの補足コメント

• X^4-4XY≧0 は(1)の範囲を出す時に考慮し、その[(1)で導き出した範囲]と、質問文に書いたようなやり方で導いた[-√2<x<√2から導き出された範囲］の両方を考慮して(2)を求める…みたいな感じでやろうとしたのですが…
  これはX^4-4XY≧0を考慮したことにはなっていないのでしょうか？(質問文の説明が大雑把すぎて申し訳なかったです)
  
  回答の受け取り方が間違っているのでしょうか？時間がなくまだお二人の回答を全部は理解できてないので勘違いしてたらすみません。

    補足日時：2025/04/26 10:19

No.6 回答者： cage64 回答日時： 2025/04/27 11:57

その方針は、(X,Y)を決めた時に、対応する(x,y)が求まる条件を求めるものです。

確かに(X,Y)を決めた時に、Xx^2-X^2x+Y=0からxの必要条件が求まります。
x+y=Xだから、(1)なら他に条件がないので、yをy=X-xとして求めることができ、
(X,Y)の条件は、xの方程式Xx^2-X^2x+Y=0が実数解を持つ条件と等しくなります。

ですが、(2)だとyはx^2+y^2≦2も満たさなければならないのに、これが考慮されていません。
-√2≦x≦√2は必要条件であって、xがこの値なら、y=X-xが x^2+y^2≦2を満たすとは限りません。
本来なら、① ^2+(X-①)^2≦2 も必要です。あまりこれは計算したくないですね。

ありがちなのは、x,y について、x+y, xy が満たすべき条件を調べて x,yはtの2次方程式 t^2-(x+y)t+xy=0の２つの実数解である、として判別式に持ち込む方法です。
本問なら(X=0の場合は別扱いとして）
(1)ではX=x+y, Y/X=xy 、
(2)ではこれに加えて x^2+y^2=(x+y)^2-2xy =X^2-2(Y/X)≦2
を利用すれば簡単です。

No.5 回答者： mtrajcp 回答日時： 2025/04/27 04:20

{x^2+√(X^4-4XY)}/2X≧√2

又は
{x^2-√(X^4-4XY)}/2X≦-√2
と
しているのがいけない

X=x+y
Y=x^2y+xy^2
から
Xx^2-X^2x+Y=0
から
x={X^2±√(X^4-4XY)}/(2X)…①

(2)の条件
x^2+y^2≦2
より
-√2≦x≦√2
と①から

-√2≦{X^2+√(X^4-4XY)}/(2X)≦√2
又は
-√2≦{X^2-√(X^4-4XY)}/(2X)≦√2
と
はいえるけれども

{x^2+√(X^4-4XY)}/2X≧√2
又は
{x^2-√(X^4-4XY)}/2X≦-√2
とはいえない間違っている

No.4 回答者： mtrajcp 回答日時： 2025/04/26 14:59

-√2≦x≦√2

なのに

x={X^2+√(X^4-4XY)}/(2X)≧√2

又は

x={X^2-√(X^4-4XY)}/(2X)≦-√2

としているのがいけない

x=1
y=1
のとき
P(x,y)=(1,1)はx^2+y^2≦2内の点

X=x+y=1+1=2
Y=x^2y+xy^2=1+1=2
だから
Q(X,Y)=(2,2)

-√2<x=1<√2

だから
x={X^2+√(X^4-4XY)}/(2X)=1<√2
x={X^2-√(X^4-4XY)}/(2X)=1>-√2
だから

x={X^2+√(X^4-4XY)}/(2X)≧√2
又は
x={X^2-√(X^4-4XY)}/(2X)≦-√2
にはならない

No.3 回答者： mtrajcp 回答日時： 2025/04/26 14:37

-√2≦x≦√2

なのに

x={X^2+√(X^4-4XY)}/(2X)≧√2

又は

x={X^2-√(X^4-4XY)}/(2X)≦-√2

としているのがいけない

No.2 回答者： mtrajcp 回答日時： 2025/04/26 05:57

X^4-4XY<0のとき

√(X^4-4XY)
は実数にならないから
X^4-4XY≧0 でなければならない事を無視している事がいけない

与式
X=x+y
Y=x^2y+xy^2
より、

Xx^2-X^2x+Y=0

判別式D≧0より

X^4-4XY≧0…①

x={X^2±√(X^4-4XY)}/(2X)
y={X^2-±√(X^4-4XY)}/(2X)

x^2
={2X^4-4XY±2X^2√(X^4-4XY)}/(4X^2)
={X^3-2Y±X√(X^4-4XY)}/(2X)

y^2
={2X^4-4XY-±2X^2√(X^4-4XY)}/(4X^2)
={X^3-2Y-±X√(X^4-4XY)}/(2X)

x^2+y^2=(X^3-2Y)/X

↓(2)の条件x^2+y^2≦2より

(X^3-2Y)/X≦2…②

①から
X(X^3-4Y)≧0
X>0のときX^3-4Y≧0→X^3≧4Y→X^3/4≧Y
X<0のときX^3-4Y≦0→X^3≦4Y→X^3/4≦Y

②から
(X^3-2Y)/X≦2

X>0のときX^3-2Y≦2X→X^3-2X≦2Y→X^3/2-X≦Y
X<0のとき
-2≦(X^3-2Y)/-X
2X≦X^3-2Y
2Y≦X^3-2X
Y≦X^3/2-X

No.1 回答者： ぷらぐろまあ 回答日時： 2025/04/25 20:07

この手の質問はAIが得意な分野ですので、そちらの方がわかりやすいかと。

たとえば、質問文をGeminiにそのまま入れると、以下の回答が得られます。
記号が消えてるので読みづらいかと思いますが、実際にはGeminiの回答では数学記号が多数表示されます。
------------------------------------------------------------------------------------------------
ああ、なるほど。(2)の問題で苦戦されているのですね。拝見したところ、いくつか考慮すべき点がありそうです。一つずつ見ていきましょう。

まず、あなたの解答でX4−4XY​の中が負になる場合を考慮できていない点が挙げられます。x が実数であるためには、X4−4XY≥0、つまり X(X3−4Y)≥0 が必要です。この条件は、点Qが存在するための必要条件となります。

次に、−√2≦x≦√2 の範囲で解を持つという条件の扱い方も少し注意が必要です。①の式はあくまで x を X,Y で表したものであり、この x が常に −√2≦x≦√2 の範囲に収まるわけではありません。

より具体的に何が問題なのか、順を追って説明するために、まずは(1)の解法を振り返り、そこから(2)への応用を考えてみましょう。

(1) Pがxy平面全体を動くときQの存在する領域

X=x+y
Y=xy(x+y)=XY

もし X=0 なら、x+y=0 より y=−x なので、Y=x(−x)(x−x)=0。したがって、X=0 のとき Y=0 となり、原点を通ります。

もし X=0 なら、y=X−x を Y=x(X−x)X に代入すると、
Y=(Xx−x2)X=X2x−Xx2
これを x の2次方程式として整理すると、
Xx2−X2x+Y=0

P(x,y) がxy平面全体を動くとき、x は任意の実数を取り得るので、この2次方程式が実数解を持つための条件は、判別式 D≥0 であることです。
D=(−X2)2−4(X)(Y)=X4−4XY≥0
X(X3−4Y)≥0

したがって、

X>0 のとき、X3−4Y≥0⟹Y≤41​X3
X<0 のとき、X3−4Y≤0⟹Y≥41​X3
X=0 のとき、Y=0

これが(1)の答えの前半部分ですね。

次に、Y=xy(x+y)=xyX より、xy=Y/X (X=0 のとき)。
x と y を解とする2次方程式は t2−(x+y)t+xy=0、つまり t2−Xt+XY​=0 です。
x,y が実数であるためには、この判別式が 0 以上である必要があります。
D′=(−X)2−4(1)(XY​)=X2−X4Y​=XX3−4Y​≥0

これは先ほどの条件と同じですね。

さて、ここで x+y=X と xy=Y/X を用いて、x2+y2 を X,Y で表してみましょう。
x2+y2=(x+y)2−2xy=X2−2XY​=XX3−2Y​

(2) Pが領域 x2+y2≤2 を動くときQの存在する領域

P が領域 x2+y2≤2 を動くとき、Qの存在する領域を考えるということは、
XX3−2Y​≤2
という条件が加わることになります。

これを Y について整理しましょう。

X>0 のとき、X3−2Y≤2X⟹−2Y≤−X3+2X⟹Y≥21​X3−X
X<0 のとき、X3−2Y≥2X⟹−2Y≥−X3+2X⟹Y≤21​X3−X
X=0 のとき、x+y=0 かつ x2+y2≤2 より 2x2≤2⟹x2≤1⟹−1≤x≤1。このとき y=−x なので、Y=0 となります。

さらに、(1)で求めた X(X3−4Y)≥0 という条件も満たす必要があります。

したがって、Qの存在する領域は、

X>0 のとき、Y≤41​X3 かつ Y≥21​X3−X
X<0 のとき、Y≥41​X3 かつ Y≤21​X3−X
X=0 のとき、Y=0

となります。これが正解の領域と一致するはずです。

あなたの解答の何が問題だったのか

X4−4XY​ の符号: 平方根は通常非負の値を取ります。あなたの式では ± を付けていますが、これは x の2つの解を表しているだけで、常に実数解が存在するとは限りません。実数解を持つためには、根号の中身が非負である必要があります。
−√2≦x≦√2 の条件の適用: あなたは x の範囲から X,Y の範囲を直接導こうとしていますが、x は X,Y に依存するため、単純な不等式の適用はできません。x2+y2≤2 という条件を、X と Y の関係式に変換する必要があります。

このように、x2+y2≤2 という条件を X と Y の不等式に変換することが、この問題のポイントだったと言えるでしょう。

もし、まだ疑問点があれば、遠慮なく聞いてくださいね。