コンプトン散乱計算の数値代入について

Question

以前、ここでご教示頂きましたコンプトン散乱の計算式に適当に数値を入れて計算しました。
元の式は、
Tr{(sl[q]+m)γμu(sl[p]+sl[k]+m)γνu(sl[p]+m)γνd( sl[p]+sl[k]+m)γμd}
= Tr[(-2sl[q]+4m)( sl[p]+sl[k]+m)(-2sl[p]+4m)( sl[p]+sl[k]+m)]
です。
これを、mathematicaで計算して

y4 = 64*k0^2*m^2 - 64*k1^2*m^2 - 64*k2^2*m^2 - 64*k3^2*m^2 + 64*m^4 + 64*k0*m^2*p0 - 64*k1*m^2*p1 - 64*k2*m^2*p2 - 64*k3*m^2*p3 - 
    64*k0*m^2*q0 + 16*k0^2*p0*q0 + 16*k1^2*p0*q0 + 16*k2^2*p0*q0 + 16*k3^2*p0*q0 - 48*m^2*p0*q0 + 32*k0*p0^2*q0 + 16*p0^3*q0 - 
    32*k0*k1*p1*q0 - 32*k0*p1^2*q0 - 16*p0*p1^2*q0 - 32*k0*k2*p2*q0 - 32*k0*p2^2*q0 - 16*p0*p2^2*q0 - 32*k0*k3*p3*q0 ・・・・・
以下省略


x = 2; y = 1; q0 = x; q1 = y; q2 = y; q3 = y; p0 = x; p1 = y; 
p2 = y; p3 = y;k0 = x; k1 = y; k2 = y; k3 = y; 
m = Sqrt[q0^2 - q1^2 - q2^2 - q3^2]; 
Print[N[y4]];

を得て、適当に数値を入れて計算しました。
もちろん適当な数値なので、何の意味もない値が導かれました。そこで質問ですが、この式に意味のある数値を代入して、実験値に近い計算値を導くには、それぞれの変数にどのような値を入れれば良いのでしょうか？

grothendieck · Accepted Answer

エイチスン=ヘイの(6.186)から(6.187)を導く段階について
(5.115)と(6.186)から断面積を求めるときは、(5.115)の|F|^2のところに(6.186)の(1/4)Σ|F|^2を代入しなければなりません。なぜならば、(5.115)は入射電子と光子が偏極し、散乱電子・光子の偏極も測定する場合の断面積、(6.186)は入射・散乱粒子の偏極を考慮しない場合に|F|^2が置き換えられるべき量を表わしているからです。すると
　dσ/dΩ = (-2e^4/(64π^2 W^2)) (u/s + s/u)
ここでWは重心系でのエネルギーなのでW^2はsに等しく、
　dΩ=d(cosθ)dφ
とすると
　dσ/d(cosθ)dφ = (-2e^4/(64π^2 s)) (u/s + s/u)
入射粒子が偏極していない場合断面積は入射方向に関して軸対称でφに依存しないので、この式をφについて積分すると2πをかけることになります。
　dσ/d(cosθ) = 2π(-2e^4/(64π^2 s)) (u/s + s/u)
こうしてちゃんと(6.187)になります。

grothendieck · Answer

マンデルスタム変数はエイチスン=ヘイ(5.124)(5.125)にあるように s=(k2 + k1)^2 なので電子質量を無視する場合は2k1・k2、質量を無視しない場合は m^2 + 2k1・k2 でいずれにせよ k3・k2 にはなりません。このようなことは自分で調べて下さい。ｍの影響はー２ということはないでしょう。ｍの影響ならば　 m→0 の極限で消えるはずですが、(7.7.463)はm→0 の極限をとっても -2 は消えません。なおε・ε' は光子偏極について和と平均を取ったときも0になるのではなく、http://www.a.phys.nagoya-u.ac.jp/~taka/lectures...　の(7.7.484)になります。
ハイトラーの「輻射の量子論」（上）P２２７　表IVは実験値ではなく、式(45)の数値を示しているだけです。実験データはハイトラーの図10の○でプロットされているもの、および図11の×○□でプロットされているものです。

grothendieck · Answer

μがマンデルスタム変数だとすると次元が合いません。その少し後に「kを電子質量とするとき k^2+μ^2=0 」という文があることからもμは電子の静止質量です。これより、計量テンソルは

　g00= -1, g11= g22 = g33= 1
と定義されていることが分かります。

grothendieck · Answer

実験データが全断面積であるとき、まず dσ/d(cosθ) を cosθについて -1 から1 まで積分して全断面積を求める必要があります。

次に座標変換をする必要がありますが、実験室系(電子の静止系)では電子の静止質量は無視できないので、電子の質量を０として求めた断面積を実験室系に変換するのは不適当です。そこで実験データの方を重心系に変換することが考えられます。実験室系と重心系の変換については下記のURLなどが参考になります。しかしハイトラーの本のデータは低エネルギーのものなので、電子の質量を０とした断面積とはあまり一致しないかもしれません。もう一つの方法は、数式処理を使って電子の質量を０としない計算を行い、実験室系の断面積を求めることです。

参考URL：http://www.a.phys.nagoya-u.ac.jp/~taka/lectures/ …

参考URL：http://www.a.phys.nagoya-u.ac.jp/~taka/lectures/cosmology/webfiles/cosmology-web/node132.html

grothendieck · Answer

私はエイチスン=ヘイは持っていないので、とりあえずご質問の３と４に回答します。
質問３
計算値と実験値の比較に影響があるというより偏極の効果を調べたいかどうかの問題です。偏極の効果を調べたい場合は、計算でも実験でも入射光子が偏極しているとし、散乱後特定の偏極を測定する必要があります。偏極の効果を調べない場合は、計算でも実験でも偏極していない入射光子を用い、散乱後は偏極について和を取る必要があります。ハイトラー「輻射の量子論」は、偏極してない場合の実験値だと思います。
 質問４
 コンプトン散乱よりもっと複雑な過程の一部として電子による仮想光子の散乱がでてくることがあります。（６．１８９）は後でそのような場合に使うためのもので、最低次のコンプトン散乱では仮想光子は考える必要がありません。

grothendieck · Answer

Compton散乱の最低次の二つのファインマン図形のうち、直接過程はエイチスン=ヘイの(6.176)より断面積への寄与は(6.180)となり、交換過程は(6.177)より
　e^4/(4(u-m^2)^2) Tr{γν(sl[q] + m[p])γν(sl[p] - sl[j] + m)γμ(sl[p] + m[p])γμ(sl[p] - sl[j] + m)}
直接過程は分母が4(s-m^2)^2、交換過程は分母が4(u-m^2)^2と異なるので、二つのトレースを直接和を取ることはできません。
エイチスン=ヘイでは入射光子が偏極せず、散乱後の偏極も測定しないとして(5.168)を使っているのでトレース中に光子の偏極ベクトルが入っていないのです(この方が計算が簡単になる)。一方、ワインバーグは偏極ベクトルを残しています。平均を取ってしまった後で元のものを再現することはできません。つまりワインバーグの本のeをkなどで表わすことはできません。一方、ωは光子のエネルギーなのでk０　になります。

grothendieck · Answer

3次元ベクトルの内積を
　P・Q = p1*q1 + p2*q2 + p3*q3
4次元ベクトルの内積を
　(p,q) = p0*q0 - p1*q1 - p2*q2 - p3*q3
と書くことにすると答え１は
 64*(2*m^4 + (K・K)*p0*q0 + (K・P)*(K・Q) - 
    k0*q0(K・P) - k0*p0*(K・Q) - m^2*(p,q))
ここで (k,k) = k0^2 - (K・K)=0 であることから、上の式は
　64*(2*m^4 + k0^2*p0*q0 + (K・P)*(K・Q) - 
    k0*q0(K・P) - k0*p0*(K・Q) - m^2*(p,q))
= 64*(2*m^4 + (k,p)(k,q)  - m^2*(p,q))
一方、TamarAの結果は、k^2=0, p^2=m[p]^2 を代入すると
 32*(4*m[p]^2*(m[p]^2 + k^2) + 2*(k, p)(k, q) - (3*m[p]^2 + k^2 - p^2)(p, q)) 
= 64*(2*m[p]^4 + (k,p)(k,q)  - m[p]^2*(p,q))
なので両者は一致しています。

grothendieck · Answer

Compton散乱の実験結果についてはハイトラー輻射の量子論(上)にもありますが、より詳しいのは
　R.D. Evans:”Compton Scattering” in Handbuch der Physik Band XXXIV , S.218
にあります（幸い？英語です）

grothendieck · Answer

下の回答で「q0^2 - q1^2 - q2^2 - q3^2とk0^2 - k1^2 - k2^2 - k3^2 で因数分解」と書いたのは正確ではありませんが、要はq0^2 - q1^2 - q2^2 - q3^2とk0^2 - k1^2 - k2^2 - k3^2などローレンツ不変な内積 をくくり出して簡単化して下さいということです。結果ををf(q0, q1, q2, q, k0, k1, k2, k3) としたとき f をk0^2 - k1^2 - k2^2 - k3^2 で割って商と余りを求める計算はMathematicaででできるはずです。
　f = (k0^2 - k1^2 - k2^2 - k3^2 )・g(q0, q1, q2, q, k0, k1, k2, k3) + h(q0, q1, q2, q, k0, k1, k2, k3) 
として(k0^2 - k1^2 - k2^2 - k3^2 )=0 を代入するとh(q0, q1, q2, q, k0, k1, k2, k3) だけに簡単化され、どうようにq0^2 - q1^2 - q2^2 - q3^2などもくくり出して定数m^2で置き換え簡単化し入射X線のエネルギーと散乱角の関数の形にもっていくべきでしょう。

grothendieck · Answer

最低次のコンプトン散乱には二つのファインマン図が対応し、微分断面積を求めるためには、もう一つのファインマン図の振幅も加える必要があります。まさか、それを認識されていないことはないと思いますが、質問文中には少しも書かれていないので、念のため。さて、結果はExpandで展開すると非常に長くなり分かりにくいものになります。ローレンツ変換性が簡単な量で表わすためにもm をSqrt[q0^2 - q1^2 - q2^2 - q3^2]で置き換えるのではなく、むしろq0^2 - q1^2 - q2^2 - q3^2とk0^2 - k1^2 - k2^2 - k3^2 で因数分解してからそれぞれm^2と0で置き換えるべきでしょう。実験と比較するためにはワインバーグ2巻の(8.7.41)の形にする必要があります。実験データ自体はハイトラーの「輻射の量子論」にあるかもしれません（未確認）。

コンプトン散乱計算の数値代入について

エイチスン=ヘイの(6.186)から(6.187)を導く段階について

この回答への補足

マンデルスタム変数はエイチスン=ヘイ(5.124)(5.125)にあるように s=(k2 + k1)^2 なので電子質量を無視する場合は2k1・k2、質量を無視しない場合は m^2 + 2k1・k2 でいずれにせよ k3・k2 にはなりません。

μがマンデルスタム変数だとすると次元が合いません。

この回答への補足

実験データが全断面積であるとき、まず dσ/d(cosθ) を cosθについて -1 から1 まで積分して全断面積を求める必要があります。

この回答への補足

私はエイチスン=ヘイは持っていないので、とりあえずご質問の３と４に回答します。

この回答への補足

Compton散乱の最低次の二つのファインマン図形のうち、直接過程はエイチスン=ヘイの(6.176)より断面積への寄与は(6.180)となり、交換過程は(6.177)より

この回答への補足

3次元ベクトルの内積を

この回答への補足

Compton散乱の実験結果についてはハイトラー輻射の量子論(上)にもありますが、より詳しいのは

この回答への補足

この回答への補足

最低次のコンプトン散乱には二つのファインマン図が対応し、微分断面積を求めるためには、もう一つのファインマン図の振幅も加える必要があります。

この回答への補足

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