タイトル通り、
「半径1の円に内接する正五角形の一辺の求め方」を教えてください。
正十角形の一辺の求め方がヒントのようです。
よろしくお願いします。

このQ&Aに関連する最新のQ&A

A 回答 (4件)

tokumei7さんは中学生ですよね?(高校生ならこの問題の解法で正十角形の一辺の求め方を考えようとしませんから)



さて、正十角形の一辺はわかりましたか?これは実はかなり綺麗に求めることができます。(こっちのほうがよっぽどいい問題)

ということで解法を。その前に、正五角形の一辺と対角線の長さの関係が1:(1+√5)/2であることは大丈夫ですか?(相似で出せます)

五角形をABCDEとし、その一辺を2aとする。(あとで辺の中点を考えますので2aとおいてます)
円の中心をOとし、ACとOBの交点をM, AOを延長し、CDおよび円周との交点をそれぞれN, A'とする。(CA'が正十角形の一辺です)

AB=2aよりAC=2a*(1+ √5)/2=(1+ √5)a, AM=AC/2=((1+ √5)/2)a
△ABM∽△OCNとOC=1よりON=(1+ √5)/4、よってNA'=1-ON=(3-√5)/4
△OAM∽△A'CNとCN=CD/2=aより、CA'=2/(1+ √5)=(√5-1)/2(この有理化は高校範囲ですが、この問題を解く中学生なら知ってて当然。)
これが正十角形の一辺となります。

ところで、正五角形の一辺だと、あとの相似はいらなくて、あとは△OCNで三平方の定理を用いればaの値は求められますから、それで終わりです。。。
ここで、この答えは、いわゆる2重根号がはずれません。これについてはどうしようもなさそうです。

#もし三角関数がおわかりなら、答えは2sin36度で、cos36度については2倍角と3倍角の公式を使えば、(1+ √5)/4になります。本質的に上の解答と同じものを求めていることになりますが・・・

##もし対角線の出し方を知らない場合は、ACとBEの交点をPとして、△PAB ∽△BACかつCP=CBより求められます。
    • good
    • 3
この回答へのお礼

kony0さん、ありがとうございました。
とても丁寧な解説のおかげで、
問題を解くことができました。
本当にありがとうございました。

他のアドバイスをくださった方々も本当にありがとうございました。

お礼日時:2001/11/18 12:54

補足します。


正五角形の各角から円の中心に向けて線をひくと5個の三角形ができます。
その上で円の中心から三角形の底辺に向けて垂直な線を引きます。

これで一つの角が90°の三角形が10個できます。
円の中心に接する三角形の角の角度は360/10で36°となります。
    • good
    • 2
この回答へのお礼

わかりました!
ありがとうございました。

お礼日時:2001/11/18 12:55

http://g3400.nep.chubu.ac.jp/onsenkids/craft/bee …
http://www15.big.or.jp/~99mash/stok/pentagram/pe …
が正五角形の書き方です。
この作図で円外に書いた2点を結ぶ距離が計算できると思います。(正三角形ですので)
あとは三角形の相似を利用して、長さの比が求められると思います。
しかし多角形の作図のし方は面白いですね。

参考URL:http://g3400.nep.chubu.ac.jp/onsenkids/craft/bee …
    • good
    • 0
この回答へのお礼

ありがとうございます。
ADEMUさん。
だいぶわかってきました。

お礼日時:2001/11/18 12:51

解答ではなくヒントを差し上げます。



図に書いて見てください。
その上で三角形を作り(一つの角が90°の)長さ1の一辺と円の中心にある角の角度(36°)から求められます。
    • good
    • 0
この回答へのお礼

アドバイスありがとうございます。
hiroshimaさん。
さっそくやってみました。
でも、まだよくわからなくって・・。
なぜ36°でわかるのでしょうか。
もう少しヒントをください。

お礼日時:2001/11/17 20:52

このQ&Aに関連する人気のQ&A

お探しのQ&Aが見つからない時は、教えて!gooで質問しましょう!

このQ&Aを見た人はこんなQ&Aも見ています

このQ&Aを見た人が検索しているワード

このQ&Aと関連する良く見られている質問

Q単位円に内接する正五角形の一辺の長さ

学校の情報の授業でプログラミングの勉強をしています。
BASIC【(仮称)十進BASIC】を使っています。

わからない問題があったので、わかる方は是非教えて下さい!!


「単位円に内接する正五角形の一辺の長さを求めるプログラム」

「単位円に内接する正n角形の一辺の長さAと外接する正n角形の一辺の長さBを求め、それぞれの一周の長さLAとLBを求めるプログラム」

Aベストアンサー

単位円に内接する正n角形の一辺の長さを考えるには、いっぺんが単位円の半径の2等辺三角形を考えます。この2等辺三角形の頂角は360/nです。2等辺三角形なので、高さの部分を考えると斜辺が単位円の半径、底辺が正n角形の一辺の長さの1/2の直角三角形を考えることが出来ます。あとは、cosの逆関数を用いて底辺/2を求めましょう。

また、外接する場合は2等辺三角形の高さが単位円の半径になります。高さが判るので、一辺の長さの1/2はtanの逆関数を用いると判ります。

Q正五角形の対角線の長さ

 正五角形の1辺の長さが「1」であるとき、その対角線の長さ φ を簡単に求める方法はないでしょうか?

 また、頂点から、対角線が交差するまでの長さ 1/φ を導き出す方法も、ぜひ教えて下さい。

解は、φ = (1 + √5) / 2 であるようですが。

Aベストアンサー

正五角形の対角線の長さは中学校卒業程度の知識で十分求めることができます。ただし、相似を使いますが、最近の中学校では相似を習わないかもしれません。
さて、正五角形ABCDEの対角線BD,CEの交点をFとします。CDの長さを1、BEの長さをφとします。
BEとCDが平行であることはわかりますね。
錯角が等しいことを利用すると三角形FBEと三角形FDCは相似になることがわかります。
また、よく見れば四角形ABFEがひし形であることが分かります。
よってBF=EF=1となります。また、FC=FD=φ-1であることもわかります。
相似な三角形の対応する辺の比はひとしいですから
φ:1=1:φ-1となります。
これからφの二次方程式ができますから、それを解けばよいのです。また、φ-1=1/φであることもこの式から導き出せます。

Q円に内接する多角形の面積の公式

円に内接する多角形の面積の公式
円に内接する多角形の面積の公式

円に内接する三角形、四角形の面積を求める公式はありますが、(それぞれヘロン、ブラーマグプタの公式)
円に内接する多角形の面積を求める公式はあるのでしょうか。

あるとすれば、その公式の名前、あるいはその公式が載っているURLを教えてください。
ないとすれば、なぜないのか(つくることの不可能性)を知っていれば教えてください。
取り合えず、あるかないかだけでも教えてください。

よろしくお願いします。

Aベストアンサー

5角形以上でも各辺の長さが既知なら、外接円は決まると思いますよ。

外接円の半径が決まれば当然面積が決まります。

多角形の各辺の長さをa1,a2,・・・,an、
外接円の半径をr、
各辺に対応する中心角をθ1,θ2,・・・,θnとすると、
θ1+θ2+・・・+θn=2π
sin(θk/2)=(ak/2)/r、cos(θk/2)=√(r^2-(ak/2)^2)/r (k=1,2,・・・,n)
面積Sは、
S=Σ[k=1~n]ak*r*cos(θk/2)/2
=Σ[k=1~n]ak*√(r^2-(ak/2)^2)/2

問題は、rが求められるかどうかですが、
sin(θ1/2+θ2/2+・・・+θn/2)=0
を加法定理で分解し、
sin(θk/2)=(ak/2)/r、cos(θk/2)=√(r^2-(ak/2)^2)/r
を代入して、rに関する方程式にして解けばいいはずです。
でも5角形以上で解けるかどうかは難しいでしょうね。
数値解析で求めるなら可能ですが。

Q一辺がaの正n角形に外接する円の半径の求め方

一辺がaの正n角形に外接する円の半径を求める公式として、添付の公式を見つけたのですが、何故この公式になるのかどなたか考え方を教えていただけないでしょうか。数学が苦手な人間に分かるように説明いただけると助かります。

r=a/2sin(180/n)

Aベストアンサー

ここに半径1の場合の一辺の長さの求め方がでています。
http://kazuschool.blog94.fc2.com/blog-entry-210.html

外接円の中心をO,正n角形の隣り合う2頂点をA,Bとし、A,Bの中点をMとすれば
OA=OB=r、∠AOB=2θ=360°/n、∠AOM=∠BOM=θ=180°/n、
AB=a、AM=BM=a/2
なので

直角三角形OAM≡直角三角形OBMで
OAsinθ=AM
OBsinθ=BM
この式から
r sin(180°/n)=a/2
rについて解けば質問の式になりますね。

Q円に内接する多角形の性質

円に内接する多角形の性質

円に内接する三角形、四角形の性質は知られていますが、
一般化して、円に内接する多角形(n角形)の性質はあるんでしょうか?

あるなら、どのような性質か教えてください。
よろしくお願いします。

Aベストアンサー

 凸多角形になります。

 また、偶数多角形(2n角形)の場合、隣り合わない内角の和は 180(n-1) 度になります。
 (つまり、その多角形の内角の和の半分になります。)

Q微積を使わずに球の表面積や体積を求めるには?

微積を使わずに球の表面積や体積を求めるには?
高3で微積を習うまでずっと疑問だった球の表面積と体積の公式ですが
微積を使わずに求めるにはどうしたら良いでしょうか?
錐体の体積が柱体の体積の1/3になることは使って良いこととしたいと思います
(従って、表面積でも体積でもどちらか一方の求め方がわかれば十分です)。

また「求める」程でなくとも「直感的に理解できる」程度でも結構です
(例「球の表面積は、直径を含む球の断面のちょうど4倍になるんだなぁ」)
が「球形や円柱形の容器に入れる」ようなものではなく
あくまで思考実験で理解できるようなものでお願いします。

↓のような質問は見かけたのですが
http://oshiete.goo.ne.jp/qa/318118.html
No.2も4も明らかに微積を使ってますよね。

ちなみに中学生とかに教えることを目的としたものではなく
高3までに公式の理由を知る方法があったのかどうか個人的に知りたいだけです。

Aベストアンサー

これなんかどうかしら。
http://izumi-math.jp/sanae/MathTopic/ktaiseki/ktaiseki.htm

Qsin72度の求め方を教えて下さい.

sin72度の求め方を教えて下さい.

Aベストアンサー

sin72度を求める方法がここに詳しく載っています
http://ikamondai.com/Question28.html

参考URL:http://ikamondai.com/Question28.html

Q3辺の比率が3:4:5である直角三角形のそれぞれの角度は?

下辺が4、高さ3、そして対角線が5の比率を持った
直角三角形のそれぞれの角の角度を教えてください。

よろしくお願いします。

Aベストアンサー

下辺の斜辺(対角線ではなく斜辺と呼びます)寄りの角度θは
sinθ=3/5(同時にcosθ=4/5)となる角度ですので、

Excelで
ASIN(0.6) (またはACOS(0.8) )
と打ち込んでください。
※ASINはsinの逆関数(逆算ができる)です。ACOSはcosの逆関数です。

答えは0.6435…となりますよね。
これが弧度法(半径1の円の孤の長さで表す角度の表し方)の角度です。弧度法のπ(≒3.14)は180°と等しいですから、この値に180/πをかけてください。

つまりExcelの式では
ASIN(0.6)*180/PI() (またはACOS(0.8)*180/PI() )
となります。

答えは、およそ36.87°です。

もう一つの角(底辺の対角)は、sinθ=4/5,cosθ3/5となる角度ですから同じように求まります。まあ、そこまでしなくとも、直角三角形ですから、
90°-36.87°=約53.13°
でいいです。

Q女史は蔑視用語??????

若い女性で専門技術のあるひとを「00女史」と
引用したら 女性の上司からそれは あなたより若い
のだから蔑視用語だ。との指摘
しかし web国語辞典では
「教養などがあり社会的に尊敬される女性」
とあり 釈然としない

先生は時として 蔑視用語だが
女史は 蔑視用語??????

Aベストアンサー

女性であることを明示する必要がないときに女性であることがわかるような書き方をするのはよくありません。「女史」という言葉を使うと、わざわざ女性であるということをとりあげて言われているように感じ、不快に思う人もいます(「男史」という言葉はありませんから…)。男女の別がわかるような敬称はなるべく使わない方が好ましいし、女性特有の敬称というのは現代の公的な文書ではなるべく避けられる傾向にあります。

 とくに「女史」というのは、頻繁に使われていた頃でもかなり年配で実力のある女性に使うのが普通だったと思います。専門技術があるだけの若い女性に使うのにはどのみちふさわしくないと思いますよ。
 
 

Q3次元座標2点からの直線式の求め方

お世話になります。

3次元座標2点からの直線式(ax+by+cz=0)の求め方を教えて下さい。

2次元座標であれば、1つの傾きから算出できるのですが、3次元座標になると、X-Y平面、Y-Z平面での傾きの使い方がこんがらかってしまいます。
基本的な質問で申し訳ありませんが、よろしくお願い致します。

座標1 = (x1,y1,z1)
座標2 = (x2,y2,z2)

以上

Aベストアンサー

> 直線式(ax+by+cz=0)の求め方を教えて下さい。
3次元座標では(ax+by+cz=0)は原点を通る平面になり、直線の式ではありません。ax+by+cz=dは平面の一般式です。

2点を通る直線の式には公式があります。
以下のように簡単に導けます。
点(x1,y1,z1)を通り方向ベクトル(x2-x1,y2-y1,z2-z1)の直線ですから
媒介変数形式で
(x,y,z)=(x1,y1,z1)+t(x2-x1,y2-y1,z2-z1)
と成ります。
これを変形してすれば
(x-x1)/(x2-x1)=(y-y1)/(y2-y1)=(z-z1)/(z2-z1)
と3次元座標の直線の式となります。


このQ&Aを見た人がよく見るQ&A

人気Q&Aランキング