タイトル通り、
「半径1の円に内接する正五角形の一辺の求め方」を教えてください。
正十角形の一辺の求め方がヒントのようです。
よろしくお願いします。

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A 回答 (4件)

tokumei7さんは中学生ですよね?(高校生ならこの問題の解法で正十角形の一辺の求め方を考えようとしませんから)



さて、正十角形の一辺はわかりましたか?これは実はかなり綺麗に求めることができます。(こっちのほうがよっぽどいい問題)

ということで解法を。その前に、正五角形の一辺と対角線の長さの関係が1:(1+√5)/2であることは大丈夫ですか?(相似で出せます)

五角形をABCDEとし、その一辺を2aとする。(あとで辺の中点を考えますので2aとおいてます)
円の中心をOとし、ACとOBの交点をM, AOを延長し、CDおよび円周との交点をそれぞれN, A'とする。(CA'が正十角形の一辺です)

AB=2aよりAC=2a*(1+ √5)/2=(1+ √5)a, AM=AC/2=((1+ √5)/2)a
△ABM∽△OCNとOC=1よりON=(1+ √5)/4、よってNA'=1-ON=(3-√5)/4
△OAM∽△A'CNとCN=CD/2=aより、CA'=2/(1+ √5)=(√5-1)/2(この有理化は高校範囲ですが、この問題を解く中学生なら知ってて当然。)
これが正十角形の一辺となります。

ところで、正五角形の一辺だと、あとの相似はいらなくて、あとは△OCNで三平方の定理を用いればaの値は求められますから、それで終わりです。。。
ここで、この答えは、いわゆる2重根号がはずれません。これについてはどうしようもなさそうです。

#もし三角関数がおわかりなら、答えは2sin36度で、cos36度については2倍角と3倍角の公式を使えば、(1+ √5)/4になります。本質的に上の解答と同じものを求めていることになりますが・・・

##もし対角線の出し方を知らない場合は、ACとBEの交点をPとして、△PAB ∽△BACかつCP=CBより求められます。
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この回答へのお礼

kony0さん、ありがとうございました。
とても丁寧な解説のおかげで、
問題を解くことができました。
本当にありがとうございました。

他のアドバイスをくださった方々も本当にありがとうございました。

お礼日時:2001/11/18 12:54

補足します。


正五角形の各角から円の中心に向けて線をひくと5個の三角形ができます。
その上で円の中心から三角形の底辺に向けて垂直な線を引きます。

これで一つの角が90°の三角形が10個できます。
円の中心に接する三角形の角の角度は360/10で36°となります。
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この回答へのお礼

わかりました!
ありがとうございました。

お礼日時:2001/11/18 12:55

http://g3400.nep.chubu.ac.jp/onsenkids/craft/bee …
http://www15.big.or.jp/~99mash/stok/pentagram/pe …
が正五角形の書き方です。
この作図で円外に書いた2点を結ぶ距離が計算できると思います。(正三角形ですので)
あとは三角形の相似を利用して、長さの比が求められると思います。
しかし多角形の作図のし方は面白いですね。

参考URL:http://g3400.nep.chubu.ac.jp/onsenkids/craft/bee …
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この回答へのお礼

ありがとうございます。
ADEMUさん。
だいぶわかってきました。

お礼日時:2001/11/18 12:51

解答ではなくヒントを差し上げます。



図に書いて見てください。
その上で三角形を作り(一つの角が90°の)長さ1の一辺と円の中心にある角の角度(36°)から求められます。
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この回答へのお礼

アドバイスありがとうございます。
hiroshimaさん。
さっそくやってみました。
でも、まだよくわからなくって・・。
なぜ36°でわかるのでしょうか。
もう少しヒントをください。

お礼日時:2001/11/17 20:52

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Q正五角形の製図(作図)方法について質問

文章ではとても伝わりづらいので、
回答可能なのか分かりませんが、
分かる方はよろしくお願いします。

製図は多少出来ますが、基本シロウトです。

コンパス、定規で正確に正五角形を描きたいです。

厚紙に描いてハサミで切るのですが、
正確な正五角形になりません。
左右対称にはなりますが、
一番上の頂点が若干下に下がって潰れたようになります。
(一辺5cmの正五角形に対して0.5mmほど下に下がってる感じです。)


几帳面な性格です。
以前は仕事で数年間機械設計をやっていました。

コンパスは製図用ではないですが、
コンビニに置いてあるようなちゃっちいものでもありません。
中間くらいです。
鉛筆側は0.3mmで描いています。


作図は、
正五角形の一辺と対角線の比が黄金比であることを利用して描いています。
黄金比の作り方はウィキペディアの「黄金比」のページのものを利用しています。

ウィキペディアにある「正五角形」の作図方法は利用していません。
これだと、一辺を自分の思う長さに出来ないからです。


(1)やり方が違っているようにも思えませんし、丁寧にしている割にはズレが大きいので、原因を推測出来る方は教えて下さい。


(2)他にウィキペディアの「黄金比」のページにある作図方法を用いて黄金比を作図し、それを元に正五角形を作図するやり方をとっていますが、
他にやり方をご存知の方は教えて下さい。
ウェブに正五角形の作図方法はたくさん挙がっていますが、
どれも指定された一辺の長さで作図することは出来ません。

よろしくお願いします。

文章ではとても伝わりづらいので、
回答可能なのか分かりませんが、
分かる方はよろしくお願いします。

製図は多少出来ますが、基本シロウトです。

コンパス、定規で正確に正五角形を描きたいです。

厚紙に描いてハサミで切るのですが、
正確な正五角形になりません。
左右対称にはなりますが、
一番上の頂点が若干下に下がって潰れたようになります。
(一辺5cmの正五角形に対して0.5mmほど下に下がってる感じです。)


几帳面な性格です。
以前は仕事で数年間機械設計をやっていました。

コンパスは製図用で...続きを読む

Aベストアンサー

そういうのを研究する学問として図学(ずがく)というのがあります。機械設計を学んだのなら基礎としてやっていると思うのですが(最近はやらないのかな)。

で、「図学、正五角形」で検索してみました。
「わかりやすい図学と製図」という書籍のサンプルページとして、一辺を与えて正五角形を作図する方法というのが掲載されていますが、これじゃ駄目ですかね
http://books.google.co.jp/books?id=s0P3wYxpu9kC&pg=PA18&lpg=PA18&dq=%E5%9B%B3%E5%AD%A6+%E6%AD%A3%E4%BA%94%E8%A7%92%E5%BD%A2&source=bl&ots=sw_ht3Fp3l&sig=OluD3AM6aCon8h8eZ700jXCm4jc&hl=ja&sa=X&ei=JE3mU5HUI8nr8AX3p4LABw&ved=0CFwQ6AEwCw#v=onepage&q=%E5%9B%B3%E5%AD%A6%20%E6%AD%A3%E4%BA%94%E8%A7%92%E5%BD%A2&f=false

そういうのを研究する学問として図学(ずがく)というのがあります。機械設計を学んだのなら基礎としてやっていると思うのですが(最近はやらないのかな)。

で、「図学、正五角形」で検索してみました。
「わかりやすい図学と製図」という書籍のサンプルページとして、一辺を与えて正五角形を作図する方法というのが掲載されていますが、これじゃ駄目ですかね
http://books.google.co.jp/books?id=s0P3wYxpu9kC&pg=PA18&lpg=PA18&dq=%E5%9B%B3%E5%AD%A6+%E6%AD%A3%E4%BA%94%E8%A7%92%E5%BD%A2&source=bl&ots=sw_ht3F...続きを読む

Q一辺がaの正n角形に外接する円の半径の求め方

一辺がaの正n角形に外接する円の半径を求める公式として、添付の公式を見つけたのですが、何故この公式になるのかどなたか考え方を教えていただけないでしょうか。数学が苦手な人間に分かるように説明いただけると助かります。

r=a/2sin(180/n)

Aベストアンサー

ここに半径1の場合の一辺の長さの求め方がでています。
http://kazuschool.blog94.fc2.com/blog-entry-210.html

外接円の中心をO,正n角形の隣り合う2頂点をA,Bとし、A,Bの中点をMとすれば
OA=OB=r、∠AOB=2θ=360°/n、∠AOM=∠BOM=θ=180°/n、
AB=a、AM=BM=a/2
なので

直角三角形OAM≡直角三角形OBMで
OAsinθ=AM
OBsinθ=BM
この式から
r sin(180°/n)=a/2
rについて解けば質問の式になりますね。

Q正五角形の対角線でできる小さな正五角形の面積は?

一辺が長さ1の正五角形がある。
対角線を5本引くと、その内部に小さな正五角形ができます。
元の正五角形と内部にできる正五角形の面積の比を求めよ。

同じく正17角形の場合はどうなるか?

3時間考えても回答にいたりませんでした。
ヒントでも正解でもよいので、教えてください。よろしくお願いします。

Aベストアンサー

正17角形の場合を考えてみました。 なお計算の便宜上半径1の単位円に内接する正17角形を考えます。

正17角形には119本(17×14/2)の対角線が存在しますが、中央部に小さな正17角形を形成するのに関わるのは、この中で最長の17本だけです。下の図で三角形PQRを色分けしたように、外側の大きな正17角形の1辺と合わせて考えると、底辺が正17角形の1辺で頂角がπ/17の二等辺三角形が17個組み合わされて、小さな正17角形を構成します。

ここで中心部の小さな正17角形の内部にも同様に小さな正17角形の1辺を底辺とし頂角がπ/17の二等辺三角形STUを作ることができます。ここで大小二つの正17角形の相似比はこの大小二つの二等辺三角形の相似比に等しいことは明かなので、この二等辺三角形の高さの比を考えます。Pから底辺QRに垂線PHを、またSから底辺TUに垂線SH'をそれぞれ下ろします。

三角形PQRにおけるPH=1+cos(π/17) またPQ=2cos(π/34) より PH'=cos(π/34)
SH'=PH'tan(π/17)=cos(π/34)tan(π/17)

したがって大小の正17角形の相似比は 
1+cos(π/17):cos(π/34)tan(π/17)

面積比はこの2乗だから
(1+cos(π/17))^2:(cos(π/34)tan(π/17))^2

なお数値計算しておおまかにいうと相似比が約10.65倍、面積比が約113.5倍です。

正17角形の場合を考えてみました。 なお計算の便宜上半径1の単位円に内接する正17角形を考えます。

正17角形には119本(17×14/2)の対角線が存在しますが、中央部に小さな正17角形を形成するのに関わるのは、この中で最長の17本だけです。下の図で三角形PQRを色分けしたように、外側の大きな正17角形の1辺と合わせて考えると、底辺が正17角形の1辺で頂角がπ/17の二等辺三角形が17個組み合わされて、小さな正17角形を構成します。

ここで中心部の小さな正17角形の内部にも同様に小さな正17角形の1辺を底辺とし...続きを読む

Q正五角形のなかにまた正五角形・・・

正五角形の中に星型を描くと小さい五角形ができます。これを繰り返すと無数の五角形ができます(実際はあまり沢山は描けませんが・・・)。またはじめの五角形より大きな五角形を描くことも容易です。このような一連の五角形の大小は等比級数のようになっているように思うのですが,中学程度の数学で簡単に答えは出せますか。

Aベストアンサー

外側の正5角形と内側の正5角形は互いに比が一定の相似なので,一連の正5角形の大小はこの相似比を公比とする等比級数となります.そこでこの相似比を求めてみましょう.

外側の正5角形をABCDEとし,内側の正5角形をA'B'C'D'E'とします.
(AとA',BとB',…,EとE'は中心に対して互いに逆側になるように配置します)
また,外側の正5角形の1辺の長さを1,内側の正5角形の1辺の長さをx(ただしx<1)とします。

【補足】(もし正5角形の性質にあまり詳しくないのなら下の証明を読む前に見て下さい)
正5角形の1つの内角は360°÷5=108°ですが,1つの内角(例えば∠BAE)を対角線で区切った3つの角(この例では∠BACと∠CADと∠DAE)はちょうど3等分されて1つが108°÷3=36°になります.これを確かめるのは簡単で,正5角形ABCDEに外接円を描き,弧BCと弧CDと弧DEの長さが互いに等しいことから,その円周角∠BACと∠CADと∠DAEも互いに等しいとわかります.
これを利用すると正5角形には2種類の互いに相似である二等辺三角形がたくさんあることがわかります.1つは(36°,72°,72°)の二等辺三角形で△ACDや△A'C'D'や△EAD'や△ABC'などが該当します.もう1つは(36°,36°,108°)の二等辺三角形で△AB'Eや△A'C'E'や△ADEなどが該当します.(自分で確かめてみましょう)

△EAD'と△AC'D'は互いに相似で(36°,72°,72°)の二等辺三角形で,△AB'Eは(36°,36°,108°)の二等辺三角形です.AE=D'E=1とC'D'=xからAD'=AC'=B'E=1-xです.よって△EAD'∽△AC'D'よりEA:AD'=AD':D'C'なので,
1:(1-x)=(1-x):x → x=(1-x)^2 → x^2-3x+1=0 → x=(3-√5)/2 (←注:x<1なので±は負のみ有効)
以上より外側の正5角形と内側の正5角形の相似比は,1:(3-√5)/2(内側を1とすると(3+√5)/2:1)であるとわかります.

外側の正5角形と内側の正5角形は互いに比が一定の相似なので,一連の正5角形の大小はこの相似比を公比とする等比級数となります.そこでこの相似比を求めてみましょう.

外側の正5角形をABCDEとし,内側の正5角形をA'B'C'D'E'とします.
(AとA',BとB',…,EとE'は中心に対して互いに逆側になるように配置します)
また,外側の正5角形の1辺の長さを1,内側の正5角形の1辺の長さをx(ただしx<1)とします。

【補足】(もし正5角形の性質にあまり詳しくないのなら下の証明を読む前に見て下さい)
正5...続きを読む

Q細長い紙と正五角形

割りばしの袋を結ぶと正五角形ができます。
どうしてですか?
なんでくるっとするだけできれいな正五角形ができるんですか

Aベストアンサー

確かに、正五角形ができないように緩く折ることもできますが…>#1.
C,Dの部分で緩みが生じないように、ゆっくり巻きつけて折ると、
ABCDは、自動的に正五角形になります。
細長い紙の両縁が平行線であるために、
五角形の対角線が、皆、対辺と平行になるからです。
そのような五角形は、正五角形しかありません。

Q五角形と正十角形について

近々、義務教育終了程度の数学の試験があります。

自信がないので、まずは小学校五年生で習う算数の基礎固めテキストを使って、基礎から復習しようと始めたのですが…。

算数に悪戦苦闘しています。

得意な方教えて下さい。


(問題(1))五角形の5つの角の大きさの和は何度ですか?
(答え)540゜

→この問題は五角形内に三角形が3つできるので180゜×3=540゜となる事は分かったのですが、

どうやって3つできると考えたらよいのでしょうか?

私はこの問題を見た時によく分からなかったので、
とりあえず五角形を書きました。
それで三角形が3つだと分かりました。


(問題(2))正十角形の1つの角の大きさは何度ですか?
(答え)144゜

→調べてみると、十角形の内角の和が1440゜なので、
1440゜÷10をすれば144゜がでますが、

十角形の内角の和など知らなかったので分かりませんでした。
これは暗記していないと解けない問題なのでしょうか??
(問題(1))のように、十角形を簡単に書くこともできないですし。


小学五年生用の問題なので、他に違う考え方があるのかも?!と思い恥ずかしながら質問させていただきます。

よろしくお願いします。

近々、義務教育終了程度の数学の試験があります。

自信がないので、まずは小学校五年生で習う算数の基礎固めテキストを使って、基礎から復習しようと始めたのですが…。

算数に悪戦苦闘しています。

得意な方教えて下さい。


(問題(1))五角形の5つの角の大きさの和は何度ですか?
(答え)540゜

→この問題は五角形内に三角形が3つできるので180゜×3=540゜となる事は分かったのですが、

どうやって3つできると考えたらよいのでしょうか?

私はこの問題を見た時によく分からなか...続きを読む

Aベストアンサー

義務教育終了程度、ということであれば、中学の数学で、文字を使うことも必要かと思うので、文字も使って、まとめてみます。文字式に自信がなければ、実際の数をあてはめて考えてください。それで、文字式の基礎が逆に解るかもしれません。

n角形の内角の和の求め方。

(1) 教科書に普通書いてあるのは、1つの頂点から、対角線を引いて、三角形に分けるやり方。
(1-1) 1つの頂点から、対角線は、(n-3)本引ける。理由は、
 頂点はn個ありますが、自分自身とは繋げない、隣とつないでも、対角線でなく、辺になる、
 それで、3つアウトだから、対角線としてひけるのは残りの(n-3)本、
(1-2) (n-3)本の対角線で、n角形は、(n-2)個の三角形に分かれる、理由は、
 対角線は、一番上にある頂点から引かれていることにします。
 どの対角線をとっても、その右に三角形がひとつある(同じものを2回数える心配なしに)
 で、そういう三角形が、(n-3)個ある。ただ、それだと、
 一番左の対角線の左側の三角形を数えてないから、
 全部では、あと1個増えて、(n-2)個、
(1-3) この(n-2)個の三角形の内角の和の合計は、n角形の内角の和と同じ、
 ここは、図を描いて確認して三角形の角に印を付けたりして、確認してくださいね。
 それで、n角形の内角の和は、180度×(n-2)。

(2) n角形の内側の点、できるだけ真ん中に近いところが、書きやすく見やすいと思いますが、そういう点を1つとって、その点から全部の頂点に直線をひいて、三角形に分ける方法、
(2-1) 当然、これで、n個の三角形に分けられる、三角形の内角の和の合計は、180度×n、
(2-2) その中で、真ん中の点の回りの角は、n角形の内角とは関係がない
 これも、図を描いて、三角形の内角の一つ一つに印をつけて、確認します。
(2-3) 関係ない分の角度は、1回り360度分なので、180度×n - 360度、これは、180度×(n-2)と同じものです。

(3) 内角と外角を使う方法、多分、一番、解りにくいと思いますが、外角も、中学段階で必要になりますし、解ってしまえば、実際に計算するときは、非常に便利ですので、できるだけ理解しようとがんばってください(無理そうなら、後回しでも構いません)
(3-1) 外角というのは、180度-内角のこと、イメージしやすいのは、
 n角形が大きく地面に書いてあって、それに沿って歩くことを想像してください。
 紙と鉛筆で図を描きながらだと、解りやすく、本当に家の中でも外でも、
 ある程度大きめの図を描いて、歩いてみると、もっと解りやすいと思います。
 ある辺上を歩いていて、頂点のところまでくると、そのまままっすぐ歩くと、
 周から外れてしまいます。なので、次の辺の向いている方に、方向転換を
 しないといけません。頭を向けるイメージ、お尻を振るイメージ、どちらでも
 構いませんが、方向転換した角度、これが、外角になります。内角と合わせて
 みると、足して180度になるのは、すぐわかるはずです。
(3-2) 内角と外角の和の合計は、180度の頂点数分なので、180度×n
(3-3) その中に、外角、というか、方向転換した分が含まれているので、
 それをひいてやらないといけません。ある頂点から、どっちでもいいから、
 隣の頂点に向けて歩いて行って、そこで方向転換をして、を、繰り返して、
 元の頂点に帰ってくる(ここで、最後の方向転換を忘れないように)、こう
 すると、向いている方向は、最初に向いていた向きになるので、辺を歩いた
 分を忘れてしまえば、ちょうどその場で一回転したのと同じ、つまり、
 外角の和=方向転換した角度の和=360度になります。
 すると内角の和=(1つの内角と外角の和)の合計-外角の和=180度×n-360度になります。

どれでもいいので(できれば、全部試すことをお勧めします)、それぞれ、4角形・5角形・6角形、できれば、7角形は書きにくいのでパスしたとしても、8角形くらいまで、やってみると、どこかで、必ず、先はどうなっているかが見えてきて、そうなると、上でnで書いていることの意味も見えてくると思います。

そうなってしまえば、十角形は書けないので、という話にはならず、百角形だろうが、千角形だろうが、ド~ンと来い^^、という気持ちになれます。

ここで、正n角形の1つの内角の大きさは?と聞かれたら、

(1) n角形の内角の和を求め、正~なら、内角は皆同じだから、1つ分は和をnで割る、

(2) 外角=180度-内角だから、1つの外角も、全部同じ、
 外角の和は、360度だから、1つの外角は、360度÷n、
 すると、それを、180度からひくと、1つの内角、
 とやると、内角の和の計算も要らず、カッコいい、

これが、内角の和の(3)の考え方も、できたら、理解してほしい、と言った理由です。中学の角度の計算問題でも、外角が使えると、一気に簡単になる問題は、決して、少なくありません。なくても、解けることは解けるので、無理はしなくてもいいですが、できるだけ解るように頑張ってみてください。

義務教育終了程度、ということであれば、中学の数学で、文字を使うことも必要かと思うので、文字も使って、まとめてみます。文字式に自信がなければ、実際の数をあてはめて考えてください。それで、文字式の基礎が逆に解るかもしれません。

n角形の内角の和の求め方。

(1) 教科書に普通書いてあるのは、1つの頂点から、対角線を引いて、三角形に分けるやり方。
(1-1) 1つの頂点から、対角線は、(n-3)本引ける。理由は、
 頂点はn個ありますが、自分自身とは繋げない、隣とつないでも、対角線でなく、辺になる...続きを読む

Q高校入試(数学・図形) 正五角形の対称性

高校入試(数学・図形) 正五角形の対称性

 上記内容について質問させてください。
図1のような正五角形と、その対角線によってできる図形について、問題集の解答では
「五角形ABCDEは正五角形なので、対称性から五角形FGHIJも正五角形となる」
と解説があったのですが、
○その「対称性」が、いったいどのような対称性なのか?
○どのようなことが言えるから、そのような「対称性」を持つに至るのか?
がよく分かりません。
 念のため、似たような質問を探してみたところ、あったにはあったのですが、ちょっと
理解できませんでした。
 お忙しいとは存じますが、ご回答いただけないでしょうか。

併せて、本問についての私の考え方もご指摘いただけると助かります。
その(1)
・点Oが五角形ABCDEと五角形FGHIJの相似の中心であることがいえればOK
・OA:OF=OB:OG=OC:OH=・・・=OE:OJなので、点Oは相似の中心なので相似
その(2)
・AB〃(平行)FG、BC〃GH、・・・、AE〃JFなので相似
(その(2)については、これでOKの根拠があまりありません。)

 よろしくお願いします。

高校入試(数学・図形) 正五角形の対称性

 上記内容について質問させてください。
図1のような正五角形と、その対角線によってできる図形について、問題集の解答では
「五角形ABCDEは正五角形なので、対称性から五角形FGHIJも正五角形となる」
と解説があったのですが、
○その「対称性」が、いったいどのような対称性なのか?
○どのようなことが言えるから、そのような「対称性」を持つに至るのか?
がよく分かりません。
 念のため、似たような質問を探してみたところ、あったにはあったのですが、ちょっと...続きを読む

Aベストアンサー

「対称性」については、中学校では「線対称」「点対称」などを学習していると思うのですが、
この問題の場合の「対称性」は、強いて言うなら、「回転対称」のことだと考えればいいと
思います。

要するに、正多角形というのは、ある点を中心に一定の角度回転することで、元の図形と
ぴったり重ね合わせることができる性質を持っているということです。
この問題の正5角形の場合なら、点Oを中心に5分の1回転(72°)だけ回転させると、
元とぴったり重なりますね。

このとき、各頂点や辺が元とぴったり重なるのはもちろんですが、それだけでなく、
各頂点を結ぶ5本の対角線によってできる星型や、さらにはそれらの対角線が交わって
真ん中にできる五角形FGHIJなども、回転前とぴったり重なるのが分かると思います。
つまり、対角線の星型も、五角形FGHIJも、回転対称になっているということです。

五角形FGHIJが72度回転させて元とぴったり重なったということは、それぞれの辺が
その隣の辺にぴったり重なったということですから、それはつまりそれぞれの辺は
その隣の辺と長さが等しいということを表しています。
それぞれ隣り合う辺の長さが等しいということは、結局、5本すべての辺の長さが
等しいということです。
また同じように、5つの角それぞれがとなりの角とぴったり重なることになるので、
5つの角もすべて等しいといことになります。

したがって、五角形FGHIJはすべての辺の長さが等しく全ての角が等しい五角形、
つまり正五角形ということになります。


…ということなんですが、早い話、
「正五角形ABCDEは5つの頂点のどれを上にしても同じに形になるんだから、
 その対角線でできる五角形FGHIJもその5つのうちのどの方向から見ても同じ形
 になるはず。そんな形は正五角形しかあり得ない」
ということです。

「対称性」については、中学校では「線対称」「点対称」などを学習していると思うのですが、
この問題の場合の「対称性」は、強いて言うなら、「回転対称」のことだと考えればいいと
思います。

要するに、正多角形というのは、ある点を中心に一定の角度回転することで、元の図形と
ぴったり重ね合わせることができる性質を持っているということです。
この問題の正5角形の場合なら、点Oを中心に5分の1回転(72°)だけ回転させると、
元とぴったり重なりますね。

このとき、各頂点や辺が元とぴったり重なるのは...続きを読む

Q正三角形の面積、 正五角形の面積

一辺をXとした正三角形の面積の
求めかたを教えてください。
それと、一辺をXとした正五角形の
面積の求めかたを教えてください。
お願いします。

Aベストアンサー

正三角形の面積の求め方は出ているので、
正五角形の面積についてのみ触れます。
ANo.1さんは『正五角形は正三角形の5つの集まり』と述べていますが、
正五角形は二等辺三角形の5つの集まりです。
なので正三角形の面積を利用することはできません。

> それと、一辺をXとした正五角形の
> 面積の求めかたを教えてください。

半径rの円に内接する正五角形を作り、
円の中心から正五角形の各頂点に向けて線分を引きます。
すると二等辺三角形が5つ作れるので
この二等辺三角形1個の面積を求め、それを5倍します。
一応この方法で面積は求められます
(この方法だと面積はrの式になりますが、これをXの式に変換することも可能です)。

ただこの方法で正五角形の面積を求めるには、
高校数学の三角比の知識が必要です。
(もっと簡単に求める方法があるかもしれません)

計算したところ、一辺Xの正五角形の面積は次のようになりました。
Xとかけ算の記号が紛らわしいので、かけ算する部分はそのままひらがなで書いています。
また、X^2は『Xの二乗』を表します。

(5/4) かける { sin72°/(1 - cos72°)} かける X^2

ちなみに、
sin72° = { √(10 + 2√5)} / 4
cos72° = ( -1 + √5 ) / 4
となるみたいです。

正三角形の面積の求め方は出ているので、
正五角形の面積についてのみ触れます。
ANo.1さんは『正五角形は正三角形の5つの集まり』と述べていますが、
正五角形は二等辺三角形の5つの集まりです。
なので正三角形の面積を利用することはできません。

> それと、一辺をXとした正五角形の
> 面積の求めかたを教えてください。

半径rの円に内接する正五角形を作り、
円の中心から正五角形の各頂点に向けて線分を引きます。
すると二等辺三角形が5つ作れるので
この二等辺三角形1個の面積を求め、それを...続きを読む

Q正五角形作図における証明

正五角形の作図については多様な解があり、その証明がなされているものもあります。一方、折り紙での正五角形は折り方は二種類のみが知られていますが、どちらもその証明が不明です。下記のURLに紹介されている折り方に対して、証明をしていただけないかと思い投稿しました。よろしくお願いいたします。
1)正五角形の一辺を求める
http://genryu.cside4.com/yoshitago/kyuguza2/seigo.htm
2)角度を十等分する方法
http://homepage2.nifty.com/poyopokets/kousaku/sasa/sasa.htm

Aベストアンサー

1)証明というより説明
  上に頂点Aがあり、反時計回りにB,C,D,Eとある正五角形を
  考え、1辺を√5-1とすると対角線は2
  BE=2で、CからBEに垂線CPを、DからBEに垂線DQを引く
  と、PQ=CD=√5-1、BP=EQ=(3-√5)/2
  ここで、△BCPを考えると、∠CBP=108°-36°=72°
  このことから、斜辺(BC)が√5-1で、底辺(BP)が(3-√5)/2
  になっている直角三角形は、その挟む角が72°になるといえます。

  さて、この折り方の4番目で√5-1を 真ん中に移動ということなの
  で左右に余る長さは {2-(√5-1)}/2=(3-√5)/2 です。
  すると、5番目の折り方のときに左に余った直角三角形は、ちょうど
  上に述べた 72°の三角形になります。
  つまり、折ったときに√5-1の辺で挟まれる角は 108°になると
  いうことです。

Q自作:正五角形辺上の4点でできる四角形の面積最大値

なんとなく自作問題をつくったのですが・・・

1辺長がaの正五角形上に相異なる4点があります。
この4点が動くとき、この4点によって掲載される四角形の最大値をとくにはどうすればいいですか?

簡単だと思ったのですが、とけませっm.。。
よろしくお願いします。

Aベストアンサー

正五角形の3頂点と、残りの2点を結ぶ辺上の任意の点
を頂点とする四角形が、面積最大でしょうね。証明はメンドクサ。


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