複素数の問題なんですが、複素数αとβに対してαβ=0のときα=0またはβ=0の証明を教えて下さい。それと、虚数では大小関係を考えないのはナゼですか?具体例を教えて下さい。

A 回答 (4件)

対偶を示します


α≠0かつβ≠0とすると
|α|≠0,|β|≠0
よって|αβ|=|α||β|≠0
よってαβ≠0
(証明終わり)

次に虚数では大小関係を考えないことですが
これは正確に言うと複素数では大小関係を考えることができないのです。
それの説明をするとちょっと難しくなるので、
(一応いっておくと複素数全体は順序集合になりえないから。)
じゃあ複素数のときに大小を決めることはできないのかということを考えてみると
それは考えることができます。
例えば絶対値
これはすべての複素数の長さを測る道具になっています
だから複素数そのものは大小関係が無いけど、
絶対値をとってやれば大小関係を考えることができるのです。
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問題の性質上|α・β|=|α|・|β|を使う場合にはそれを証明してから使わないとまずいのではないでしょうか


あるいは面倒でもα=ax+i・ay,β=bx+i・byとして証明したほうがいいのではないでしょうか
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補足します。



どんな順序を入れても、順序体にはなりません。

i>0 なら i*i = -1 < 0
i<0 なら -i>0, よって、 (-i)*(-i)=-1<0

となるので、順序体にはなりません。
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 大小関係について述べます。


a+bi を (a,b) と表したとき、
この順序対に対して辞書式順序を導入する事はできます。
しかし、順序体(ordered field) にはなりません。
この順序では(0,1)>(0,0)=0 なのに
(0,1)*(0,1)=(-1,0)=-1
となるので
正の数*正の数??
が負になってしまいます。
こんな理由で順序を導入しないのでしょう。
なお、正の数とは
X>0 となる数です、
x>y とは、(x-y)>0
となることです。
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Q△αβγが正三角形である⇔α^2+β^2+γ^2-αβ-βγ-γα=0の証明

△αβγが正三角形である⇔α^2+β^2+γ^2-αβ-βγ-γα=0の証明に
γ-α=(β-α){cos(±60)+isin(±60)}
⇔γ-α=(β-α){1/2 ± (√3/2)i}
から変形していく解法がいいといわれたのですが、なぜですか?
他にもいろいろ証明方法はあると思うのですが。

Aベストアンサー

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間の角が60°」などを使うのが分かりやすいでしょう。

ところで複素数は
掛け算⇔回転と拡大縮小
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γ-α=(β-α){1/2 ± (√3/2)i}  これだと1つで済みます。これで
「2辺の長さが等しく間の角が60°」
が表せるわけですね。これを変形していくと

{(γ-α)/(β-α)}={1/2 ± (√3/2)i}
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まではできました。答えもあっているはずです。ですが、

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Aベストアンサー

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までは答えを見て一応納得は出来たんですが、解き方自体はまだ分からないので今は試行錯誤をして解くしかありません。
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やっと(α+α~)^2 = 4a^2になることに気付きました。引き算にすれば(α-α~)^2 = -4b^2です。
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までは答えを見て一応納得は出来たんですが、解き方自体はまだ分からないので今は試行錯誤をして解くしかありません。
例えば、三番目の問題は答え(α^2)/4 + (αα~)/2 + (α~^2)/4 - α/2 - (3α~)/2を見て
やっと(α+α~)^2 = 4a^2になることに気付きました。引き算にすれば(α-α~)^2 = -4b^2です。
これらを4で割ったり-1を掛けたりすることでa^2とb^2が出ますよね。...続きを読む

Aベストアンサー

>α=a+ib…(A)とする。次の式をα、α~で表せ。

α~=a-ib …(B)
なので(A),(B)を加えて2で割れば

a=(α+α~)/2 …(C)

(A)から(B)を引いて2で割れば

ib=(α-α~)/2= …(D)
または
b=-i(α-α~)/2= …(D')

基本的には(C),(D)のa,ibを代入すれば、どの式もαとα~で表すことが出来ます。
後は式を整理するだけです。

>3ia^2 - abを例にお願いします。

3ia^2 - ab = (3ia-b)a = i{3(2a)+i2b}(2a)/4
= i{3(α+α~)+(α-α~)}(α+α~)/4 = i(4α+2α~)(α+α~)/4
=i(2α+α~)(α+α~)/2 …(※)

これでも良いですが、
更に括弧を展開して
=i(2α^2+3αα~+α~^2)/2

=iα^2 +iα~(3α+α~)/2
でも良いでしょう。

上のやり方は代入しやすい 2a,2ib(または2b)を作っておいて代入する方法ですが
直接a,bを代入しても良いでしょう。

3ia^2 - ab
=3i{(α+α~)^2}/4 -{(α+α~)/2}{-i(α-α~)/2}
=(i/4){3(α+α~)^2+(α+α~)(α-α~)}
=(i/4){3(α+α~)+(α-α~)}(α+α~)
=(i/4)(4α+2α~)(α+α~)
=i(2α+α~)(α+α~)/2 …(※)
上の解法の(※)の式と同じ。
式の纏め方は上と同様、いずれかで良いでしょう。

>α=a+ib…(A)とする。次の式をα、α~で表せ。

α~=a-ib …(B)
なので(A),(B)を加えて2で割れば

a=(α+α~)/2 …(C)

(A)から(B)を引いて2で割れば

ib=(α-α~)/2= …(D)
または
b=-i(α-α~)/2= …(D')

基本的には(C),(D)のa,ibを代入すれば、どの式もαとα~で表すことが出来ます。
後は式を整理するだけです。

>3ia^2 - abを例にお願いします。

3ia^2 - ab = (3ia-b)a = i{3(2a)+i2b}(2a)/4
= i{3(α+α~)+(α-α~)}(α+α~)/4 = i(4α+2α~)(α+α~)/4
=i(2α+α~)(α+α~)/2 …(※)

これでも良いですが、
更に括弧を展開して
=i(2α...続きを読む


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