複素数の問題なんですが、複素数αとβに対してαβ=0のときα=0またはβ=0の証明を教えて下さい。それと、虚数では大小関係を考えないのはナゼですか?具体例を教えて下さい。

A 回答 (4件)

対偶を示します


α≠0かつβ≠0とすると
|α|≠0,|β|≠0
よって|αβ|=|α||β|≠0
よってαβ≠0
(証明終わり)

次に虚数では大小関係を考えないことですが
これは正確に言うと複素数では大小関係を考えることができないのです。
それの説明をするとちょっと難しくなるので、
(一応いっておくと複素数全体は順序集合になりえないから。)
じゃあ複素数のときに大小を決めることはできないのかということを考えてみると
それは考えることができます。
例えば絶対値
これはすべての複素数の長さを測る道具になっています
だから複素数そのものは大小関係が無いけど、
絶対値をとってやれば大小関係を考えることができるのです。
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問題の性質上|α・β|=|α|・|β|を使う場合にはそれを証明してから使わないとまずいのではないでしょうか


あるいは面倒でもα=ax+i・ay,β=bx+i・byとして証明したほうがいいのではないでしょうか
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補足します。



どんな順序を入れても、順序体にはなりません。

i>0 なら i*i = -1 < 0
i<0 なら -i>0, よって、 (-i)*(-i)=-1<0

となるので、順序体にはなりません。
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 大小関係について述べます。


a+bi を (a,b) と表したとき、
この順序対に対して辞書式順序を導入する事はできます。
しかし、順序体(ordered field) にはなりません。
この順序では(0,1)>(0,0)=0 なのに
(0,1)*(0,1)=(-1,0)=-1
となるので
正の数*正の数??
が負になってしまいます。
こんな理由で順序を導入しないのでしょう。
なお、正の数とは
X>0 となる数です、
x>y とは、(x-y)>0
となることです。
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