レスリー行列の最大固有値が1を超える条件

http://gi.ics.nara-wu.ac.jp/~takasu/lecture/glob …の中で，レスリー行列の最大固有値が1を超えるための必要十分条件が，
B=f_1+f_2\lambda_1 +f_3\lambda_2 +\cdots +f_{\omega}\lambda_{\omega -1}>1
となる理由がわかりません．どなたか教えてください．

No.3 ベストアンサー 回答者： grothendieck 回答日時： 2005/12/05 00:43

レスリー行列をA、単位行列をEとすると固有値は

　det( A - λE ) = 0
の解になります。行列式を第1行について展開すると
　λ^ω - f1λ^(ω-1) - l(1)f2λ^(ω-2) - … - l(ω-1)fω = 0
となります。ここでl(k)=p1p2…pk。この式を
　f1/λ + l(1)f2/λ^2 + … + l(ω-1)fω/λ^ω = 1
と書き換えると、左辺はλを０から大きくしていくと、無現大から０へ近付くことから、値１を１度だけよぎることが分かります。よって正の固有値はひとつだけです。またこの式より
　B = f1 + l(1)f2 + … + l(ω-1)fω
が１より大きい時は正の固有値は1より大きく、逆にBが１より小さいときは最大固有値は１より小さいことが分かります。レスリー行列その他について
　寺本英「数理生態学」（朝倉書店）
が参考になります。

この回答へのお礼

ご回答下さり、どうもありがとうございました。おかげさまでよく理解できました。早速ご推薦いただいた文献を参考にさせていただきます。

お礼日時：2005/12/05 22:23

No.2 回答者： eatern27 回答日時： 2005/11/24 19:45

今、気付きましたが、訂正です。

失礼しました。
(誤)
＞ただし、S_1=1,S_x=P_1*・・・*P_xです。(リンク先ではl_xと、ご質問の中では\lambda_x=λ_xと表記されているものです)
(正)
ただし、S_0=1・・・

＞u_x=S_(x-1)/α^(x-1) (1≦x≦ω-1)
＞u_ω=S_(ω-1)/{(α-P_ω)α^(ω-2)}
＞の部分をもう少し詳しくご説明していただけませんでしょうか。

いや、ここは、難しい定理を使ったりせず、原始的に、求めただけです^^;

Ｌu(α)→＝αu(α)→
が成り立つのは大丈夫でしょうか？(固有値・固有ベクトルの定義ですよね？)
ここでやってるのは、これの各成分を(順番に)比較しているだけです。

u(α)→の第１成分を１(=S_0/α^0)とすると、
Ｌu(α)→の第２成分は、P_1となります。
一方、αu(α)→の第２成分は、αu_2となります。
P_1=αu_2より、u_2=P_1/α(=S_1/α^1)となります。

u(α)→の第２成分がP_1/αだとわかったので、
Lu(α)→の第３成分は、P_1*P_2/αとなります。
一方、αu(α)→の第３成分は、αu_3なので、同様にして、
u_3=P_1*P_2/α^2(=S_2/α^2)

以下、同様に第ω-1成分まで比較していけば、
＞u_x=S_(x-1)/α^(x-1) (1≦x≦ω-1)
となる事が分かります。

最後に、第ω成分を比較すると、
Lu(α)→の第ω成分は、P_(ω-1)*u_(ω-1)+P_ω*u_ωで、
αu(α)→の第ω成分は、α*u_ωより、
P_(ω-1)*u_(ω-1)+P_ω*u_ω=α*u_ω
が成り立つので、u_ω=S_(ω-1)/{(α-P_ω)α^(ω-2)}となります。(u_(ω-1)=S_(ω-2)/α^(ω-2)を使いました)

ついでに、#1に
＞α=Σ[x=1 to ω]f_x*u_x
と書きましたが、上で求めたu_xを代入すると、
α=Σ[x=1 to ω-1]f_x*S_(x-1)/α^(x-1)+S_(ω-1)/{(α-P_ω)α^(ω-2)}
となりますが、右辺のα^(x-1),{(α-P_ω)α^(ω-2)}を形式的に１にしたものが、Ｂに相当する事に注目すると、証明できます。

No.1 回答者： eatern27 回答日時： 2005/11/20 12:00

Ｌをレスリー行列とします。

第１成分が１であるような、最大固有値α(>0)に対する固有ベクトルu(α)→を考えて、
Ｌu(α)→とαu(α)→の第ｘ成分をx=2,3.・・・,ωの順に比較していけば、次のようになる事が分かります。
u_x=S_(x-1)/α^(x-1) (1≦x≦ω-1)
u_ω=S_(ω-1)/{(α-P_ω)α^(ω-2)}
ただし、S_1=1,S_x=P_1*・・・*P_xです。(リンク先ではl_xと、ご質問の中では\lambda_x=λ_xと表記されているものです)

Ｌ(u(α)→)の第１成分とαu(α)→を比較すれば、
α=Σ[x=1 to ω]f_x*u_x
となることが分かります。

必要性(α>1ならばB>1)については、
(α-P_ω)α^(ω-2)＞1となるようにωを十分大きくとっておくことにすれば、1<α<Bとなる事が分かり、

十分性(B>1ならばα>1)については、対偶が簡単に証明できます。


何箇所かごまかした所がありますが(^^;)、こんな感じでいかがでしょうか。

この回答への補足

ご親切なご回答をいただきまして，大変感謝しております。恐縮ですが，
u_x=S_(x-1)/α^(x-1) (1≦x≦ω-1)
u_ω=S_(ω-1)/{(α-P_ω)α^(ω-2)}
の部分をもう少し詳しくご説明していただけませんでしょうか。私はまだ線形代数学の勉強不足でございまして，申し訳ございません。

補足日時：2005/11/23 15:50

この回答へのお礼

大変参考になりました。

お礼日時：2005/12/04 16:03