線形代数の問題で、2次形式(6x^2-4xy+9y^2)の標準形を求める問題です。 A=(6 -2)

線形代数の問題で、2次形式(6x^2-4xy+9y^2)の標準形を求める問題です。
A=(6 -2)
(-2 9)とおき、
固有値5、10、固有ベクトルはそれぞれc1(2 1)、c2(1 -2)となり、
T=(2/√5 1/√5
1/√5 -2/√5)
とおき、T^tATを求めると、
D=(1 0
0 2)
より、標準形はx'^2+2y'^2と求めたのですが、答えは10x'^2+5y'^2となっています。
TDT^tを求めると、
(6/5 -2/5
-2/5 9/5)
となります。TDT^tを求めてからn倍して求めるのですか？また、x'^2とy'^2の係数が逆でも正解ですか？

No.1 ベストアンサー 回答者： ありものがたり 回答日時： 2019/06/09 16:00

固有値が 5, 10 なのだから、標準形は 5x^2+10y^2 です。

(10x^2+5y^2 でもかまいませんが。)

計算してみると T^t A T =
(5　0
0　10)
になるので、単純な計算ミスでしょう。

固有ベクトルの長さを標準化せずに
P^-1 A P ≠ P^t A P で失敗する人は多いのですが、
あなたは、ちゃんと単位固有ベクトルを並べて T としているので
そういう問題でもありません。

T^t A T の計算を、やりなおしてみてください。